การคำนวณเกรดของเมทริกซ์ตามคำนิยาม

นิยามของเกรดของเมทริกซ์ การคำนวณเกรดของเมทริกซ์ตามคำนิยาม

ในการทำงานกับแนวคิดของการจัดอันดับเมทริกซ์เราจะต้องการข้อมูลจากหัวข้อ "appled-on และผู้เยาว์พีชคณิตประเภทของชนกลุ่มน้อยและพีชคณิต" ก่อนอื่นสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำว่า "Minor Matrix" เนื่องจากอันดับของเมทริกซ์จะถูกกำหนดผ่านผู้เยาว์

Matrix อันดับ เรียกคำสั่งสูงสุดของผู้เยาว์ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เท่ากับศูนย์

เมทริกซ์เทียบเท่า - เมทริกซ์ที่มีอันดับอยู่ในหมู่ตัวเอง

ให้เราอธิบายเพิ่มเติม สมมติว่าผู้เยาว์ของลำดับที่สองมีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์ และผู้เยาว์ทุกคนลำดับที่อยู่เหนือสองเป็นศูนย์ บทสรุป: อันดับของเมทริกซ์คือ 2. หรือตัวอย่างเช่นผู้เยาว์ของลำดับที่สิบมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดลำดับที่สูงกว่า 10 เป็นศูนย์ สรุป: แหวนของเมทริกซ์คือ 10

เกรดของเมทริกซ์ $ A $ ถูกแสดง: $ \ ดัง $ หรือ $ r (a) $ อันดับ Zero Matrix $ o $ ถือเป็นศูนย์ $ \ rang o = 0 $ ให้ฉันเตือนคุณว่าสำหรับการก่อตัวของผู้เยาว์เมทริกซ์จะต้องมีการเพิ่มสตริงและคอลัมน์ - อย่างไรก็ตามในการลบแถวและคอลัมน์มากกว่าเมทริกซ์นั้นเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่นหาก $ F $ เมทริกซ์มีขนาดเท่ากับ $ 5 \ คูอก $ 4 (I. มี 5 บรรทัดและ 4 คอลัมน์) จากนั้นลำดับสูงสุดของผู้เยาว์เท่ากับสี่เท่า ผู้เยาว์ของคำสั่งที่ห้าจะไม่ประสบความสำเร็จเนื่องจากพวกเขาจะต้องใช้ 5 คอลัมน์ (และเรามีเพียง 4) ซึ่งหมายความว่าอันดับของ $ F $ เมทริกซ์ต้องไม่เกินสี่ I. $ \ rang f≤4 $

ในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นการกล่าวมาข้างต้นหมายความว่าหากเมทริกซ์มี $ m $ แถวและคอลัมน์ $ n $ จากนั้นอันดับของมันต้องไม่เกิน $ m $ และ $ n $ $ \ rang a≤ \ min (m, n) $

โดยหลักการแล้ววิธีการค้นหาตามคำจำกัดความของอันดับ กระบวนการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ตามคำนิยามสามารถส่งได้:

ดังนั้น

ฉันจะอธิบายรูปแบบนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม เริ่มพูดจากจุดเริ่มต้นของพวกเขากันเถอะ จากผู้เยาว์ของคำสั่งแรกของเมทริกซ์บาง $ A $

  1. หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งแรก (นั่นคือองค์ประกอบของเมทริกซ์ $ A $) เป็นศูนย์จากนั้น $ \ ดัง A = 0 $ หากในบรรดาผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งแรกมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์จากนั้น $ \ ดังA≥ $ 1 ไปตรวจสอบของผู้เยาว์ลำดับที่สอง
  2. หากผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับที่สองเป็นศูนย์จากนั้น $ \ ดัง A = 1 $ หากในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สองมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์จากนั้น $ \ ดังA≥ $ 2 ไปที่การตรวจสอบผู้เยาว์ลำดับที่สาม
  3. หากผู้เยาว์ลำดับที่สามทั้งหมดเป็นศูนย์จากนั้น $ \ ดัง A = $ 2 หากในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สามมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์จากนั้น $ \ ดังA≥ $ 3 ไปตรวจสอบผู้เยาว์ของลำดับที่สี่
  4. หากผู้เยาว์ลำดับที่สี่ทั้งหมดเป็นศูนย์แล้ว $ \ ดัง A = $ 3 หากในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สี่มีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์จากนั้น $ \ ดังA≥ $ 4 ไปตรวจสอบผู้เยาว์ของลำดับที่ห้าและอื่น ๆ

สิ่งที่รอเราในตอนท้ายของขั้นตอนนี้? เป็นไปได้ว่าในบรรดาผู้เยาว์ของคำสั่งของ k-th มีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์และผู้เยาว์ทั้งหมด (K + 1) ของการสั่งซื้อจะเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า K เป็นคำสั่งสูงสุดของผู้เยาว์ที่มีอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เท่ากับศูนย์ I.e. อันดับจะเท่ากับ k อาจมีสถานการณ์ที่แตกต่างกัน: ในหมู่ผู้เยาว์ของคำสั่ง k-th จะมีอย่างน้อยหนึ่งที่ไม่เท่ากับศูนย์และผู้เยาว์ (K + 1) ไม่สามารถสร้างขั้นตอนได้อีกต่อไป ในกรณีนี้เศษผ้าของเมทริกซ์ก็เท่ากับ k ในระยะสั้น คำสั่งของการประกอบครั้งสุดท้ายของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์และจะเท่ากับขอบของเมทริกซ์ .

ให้เราหันไปที่ตัวอย่างที่กระบวนการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ตามคำนิยามจะแสดงให้เห็น เราจะเน้นอีกครั้งว่าในตัวอย่างของหัวข้อนี้เราจะพบว่ามีการจัดอันดับของเมทริกซ์โดยใช้นิยามของอันดับเท่านั้น วิธีการอื่น ๆ (การคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีการของผู้เยาว์ที่คึกคักการคำนวณเกรดของเมทริกซ์ตามวิธีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น) ได้รับการพิจารณาในหัวข้อต่อไปนี้

โดยวิธีการที่ไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นขั้นตอนในการค้นหาอันดับที่มีผู้เยาว์ของการสั่งซื้อที่เล็กที่สุดเช่นเดียวกับในตัวอย่างที่ 1 และหมายเลข 2 คุณสามารถไปที่คนงานที่มีคำสั่งซื้อที่สูงกว่าได้ทันที (ดูตัวอย่างที่ 3)

ตัวอย่าง№1

ค้นหาอันดับ Matrix $ A = \ Left (\ เริ่มต้น {array} {ccccc}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ end {array} \ ขวา) $

การตัดสินใจ

เมทริกซ์นี้มีขนาดเท่ากับ $ 3 \ คูณ $ 5, I.e. มีสามบรรทัดและห้าคอลัมน์ ของตัวเลข 3 และ 5 ขั้นต่ำคือ 3 ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ $ a $ ไม่เกิน 3, I. $ \ rang a≤ $ 3 และความไม่เท่าเทียมนี้ชัดเจนเนื่องจากผู้เยาว์ของคำสั่งที่สี่เราไม่สามารถฟอร์มอีกต่อไป - สำหรับพวกเขาคุณต้องมี 4 บรรทัดและเรามีเพียง 3. ฉันเท่านั้นที่จะกลับไปที่กระบวนการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ที่กำหนด

ในบรรดาผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งแรก (นั่นคือองค์ประกอบของเมทริกซ์ $ A $) ไม่มีที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น 5, -3, 2, 7 โดยทั่วไปเราไม่สนใจจำนวนทั้งหมดขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ มีอย่างน้อยหนึ่งรายการที่ไม่เท่ากับศูนย์ - และนี่ก็เพียงพอแล้ว ตั้งแต่ท่ามกลางผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งแรกมีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์เราสรุปได้ว่า $ \ ดังA≥ $ 1 และไปตรวจสอบผู้เยาว์ลำดับที่สอง

เริ่มตรวจสอบผู้เยาว์ของลำดับที่สอง ตัวอย่างเช่นที่จุดตัดของบรรทัดหมายเลข 1 หมายเลข 2 และคอลัมน์หมายเลข 1 หมายเลข 4 คือองค์ประกอบของผู้เยาว์ดังกล่าว: $ \ left | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc}

ห้าสิบ \\

7 & 0 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา | $ ในปัจจัยนี้องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่สองทั้งหมดเป็นศูนย์ดังนั้นตัวกำหนดเองจึงเป็นศูนย์ I.E. $ \ LEFT | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc}

ห้าสิบ \\

7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: $$

\ ซ้าย | เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ end {array} \ ขวา | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$

ลำดับแรกของลำดับที่สองกลายเป็นศูนย์ มันพูดว่าอะไร? เกี่ยวกับสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบผู้เยาว์ของลำดับที่สองต่อไป ไม่ว่าจะเป็นศูนย์ทั้งหมด (แล้วอันดับจะเท่ากับ 1) หรือในหมู่พวกเขาจะมีผู้เยาว์อย่างน้อยหนึ่งคนแตกต่างจากศูนย์ ลองทำทางเลือกที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นโดยการเขียนผู้เยาว์ลำดับที่สององค์ประกอบที่ตั้งอยู่ที่จุดตัดของสตริงหมายเลข 1 หมายเลข 2 และคอลัมน์หมายเลข 1 และหมายเลข 5: $ \ left | เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ ขวา | $ ค้นหาความหมายของคนงานเหมืองนี้ของลำดับที่สอง:

$$

\ ซ้าย | เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ ขวา | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1

$$

ผู้เยาว์นี้ไม่เท่ากับศูนย์ สรุป: ในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สองมีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์ ดังนั้น $ \ ดังA≥ $ 2 มีความจำเป็นต้องย้ายไปศึกษาผู้เยาว์ลำดับที่สาม

หากเราจะเลือกหมายเลขคอลัมน์ 2 หรือคอลัมน์หมายเลข 4 เพื่อสร้างผู้เยาว์ลำดับที่สามคนงานเหมืองดังกล่าวจะเป็นศูนย์ (สำหรับพวกเขาจะมีคอลัมน์ศูนย์) มันยังคงตรวจสอบเพียงเล็กน้อยของลำดับที่สามองค์ประกอบที่ตั้งอยู่ที่จุดตัดของคอลัมน์หมายเลข 1 หมายเลข 3 หมายเลข 5 และบรรทัดหมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 3 เราเขียนผู้เยาว์นี้และค้นหาค่า:

$$

7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: \ ซ้าย | เริ่มต้น {อาร์เรย์} {ccc}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ end {array} \ ขวา | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0

$$

7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: ดังนั้นผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับที่สามจึงเป็นศูนย์ หลังที่เราแต่งโดย Nonzero Minor คือลำดับที่สอง บทสรุป: คำสั่งสูงสุดของผู้เยาว์ที่มีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์คือ 2. ดังนั้น $ \ ดัง A = $ 2

ตอบ

: $ \ rang a = $ 2

ตัวอย่างหมายเลข 2

ค้นหาอันดับ Matrix $ A = \ Left (\ เริ่มต้น {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 และ 8 & -7 \ end {array} \ ขวา) $ เรามีเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของคำสั่งที่สี่ ทันทีโปรดทราบว่าอันดับของเมทริกซ์นี้ไม่เกิน 4 I.E $ \ Rang A≤ $ 4 เราจะดำเนินการค้นหาเกรดของเมทริกซ์ ในบรรดาผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งแรก (นั่นคือองค์ประกอบของเมทริกซ์ $ A $) มีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์ดังนั้น $ \ ดังA≥ $ 1 ไปตรวจสอบของผู้เยาว์ลำดับที่สอง ตัวอย่างเช่นที่จุดตัดของบรรทัดหมายเลข 2 หมายเลข 3 และคอลัมน์หมายเลข 1 และหมายเลข 2 เราจะได้รับการสั่งซื้อครั้งที่สอง: $ \ ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา | $ ฉันคำนวณว่า:

$$

ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {array} \ ขวา | = 0-10 = -10 :

$$ ในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สองมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างไม่เท่ากับศูนย์ดังนั้น $ \ ดังก≥ $ 2 ให้เราหันไปหาคนงานเหมืองลำดับที่สาม เราจะพบตัวอย่างเช่นไมเนอร์องค์ประกอบที่ตั้งอยู่ที่จุดตัดของบรรทัดหมายเลข 1 หมายเลข 3 หมายเลข 4 และคอลัมน์หมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 4:

$$  ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา | = 105-105 = 0 $$ เนื่องจากลำดับที่สามเล็กน้อยกลายเป็นเท่ากับศูนย์จากนั้นคุณต้องสำรวจคำสั่งที่สามเล็กน้อย ทั้งหมดที่พวกเขาจะเท่ากับศูนย์ (จากนั้นอันดับจะเท่ากับ 2) หรือมีอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เท่ากับศูนย์ในหมู่พวกเขา (จากนั้นเพื่อสำรวจผู้เยาว์ของคำสั่งที่สี่) พิจารณาลำดับเล็กน้อยของลำดับที่สามองค์ประกอบที่ตั้งอยู่ที่จุดตัดของบรรทัดหมายเลข 2, หมายเลข 3, หมายเลข 4 และคอลัมน์หมายเลข 2, หมายเลข 3, №4: $$ ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา | = -28 $$ ในบรรดาผู้เยาว์ของลำดับที่สามมีอย่างน้อยหนึ่งคนนอกเหนือจากศูนย์ดังนั้น $ \ ดังA≥ $ 3 ไปตรวจสอบผู้เยาว์ของลำดับที่สี่ ผู้เยาว์ของลำดับที่สี่ใด ๆ ตั้งอยู่ที่สี่แยกสี่บรรทัดและสี่คอลัมน์ของ $ A $ Matrix กล่าวอีกนัยหนึ่งเล็กน้อยของคำสั่งที่สี่คือตัวระบุของเมทริกซ์ที่ $ A $ เนื่องจากเมทริกซ์นี้มี 4 บรรทัดและ 4 คอลัมน์ ตัวกำหนดของเมทริกซ์นี้คำนวณในตัวอย่างหมายเลข 2 ของหัวข้อ "ลดลำดับของตัวกำหนดการสลายตัวของตัวกำหนดในสตริง (คอลัมน์)" ดังนั้นเราจึงใช้ผลลัพธ์ที่เสร็จสมบูรณ์:

$$ ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 และ 8 & -7 \ end {array} \ ขวา | = 86

$$ ดังนั้นผู้เยาว์ของลำดับที่สี่ไม่เท่ากับศูนย์ ผู้เยาว์ของคำสั่งที่ห้าเราไม่สามารถฟอร์มได้อีกต่อไป บทสรุป: คำสั่งสูงสุดของผู้เยาว์ที่มีอย่างน้อยหนึ่งที่แตกต่างจากศูนย์คือ 4. ผลลัพธ์: $ \ rang a = $ 4 : $ \ rang a = $ 4 ตัวอย่างหมายเลข 3 ค้นหาอันดับ Matrix $ A = \ Left (\ เริ่มต้น {array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$ 7 & -4 & 0 & -5 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา) $ ทันทีโปรดทราบว่าเมทริกซ์นี้มี 3 บรรทัดและ 4 คอลัมน์ดังนั้น $ \ ดังA≤ $ 3 ในตัวอย่างก่อนหน้านี้เราเริ่มกระบวนการค้นหาอันดับจากการพิจารณาของผู้เยาว์ของคำสั่งที่เล็กที่สุด (ครั้งแรก) ที่นี่เราจะพยายามตรวจสอบผู้เยาว์ที่เป็นไปได้สูงสุดทันที สำหรับ $ A $ Matrix ผู้เยาว์ลำดับที่สามคือ พิจารณาผู้เยาว์ของลำดับที่สามองค์ประกอบที่อยู่ที่จุดตัดของบรรทัดหมายเลข 1 หมายเลข 2 หมายเลข 3 และคอลัมน์หมายเลข 2 หมายเลข 3 หมายเลข 4: $$ ซ้าย | \ เริ่มต้น {อาร์เรย์} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 และ 1 \\ -4 & 0 & -5 \ end {อาร์เรย์} \ ขวา | = -8-60-20 = -88 $$ ดังนั้นลำดับที่สูงที่สุดของกองทุนที่มีอย่างน้อยหนึ่งอันไม่เท่ากับศูนย์คือ 3. ดังนั้นเกรดของเมทริกซ์คือ 3, I. $ \ rang a = $ 3 : $ \ rang a = $ 3 โดยทั่วไปแล้วการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ตามคำนิยาม - ในกรณีทั่วไปงานค่อนข้างใช้เวลานาน ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ของจำนวนเงินที่ค่อนข้างน้อย $ 5 \ คูณ $ 4 $ มีผู้เยาว์ที่มีลำดับ 60 วินาที และถ้าแม้แต่ 59 ของพวกเขาจะเป็นศูนย์แล้วผู้เยาว์ที่ 60 สามารถไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นคุณจะต้องสำรวจผู้เยาว์ของลำดับที่สามซึ่งเมทริกซ์นี้มี 40 ชิ้น โดยปกติแล้วพวกเขากำลังพยายามใช้วิธีการขนาดใหญ่น้อยกว่าเช่นวิธีการโฟกัสของคนงานเหมืองหรือวิธีการแปลงที่เทียบเท่า .

วิธีการหาอันดับของเมทริกซ์? ความรู้เกี่ยวกับเกรดของเมทริกซ์จะเพิ่มอันดับของคุณ =) ในบทเรียนของวันนี้เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของการจัดอันดับ พีชคณิตเมทริกซ์ เรียนรู้วิธีค้นหาอันดับของเมทริกซ์ วิธีการของเงินที่น่าเบื่อ โดยเกาส์

รวมถึงพิจารณาหัวข้อการใช้งานจริงที่สำคัญ: ศึกษาระบบสมการเชิงเส้นเพื่อความเข้ากันได้ อันดับของเมทริกซ์คืออะไร?

epigraph อารมณ์ขันของบทความมีสัดส่วนความจริงจำนวนมาก คำว่า "อันดับ" นั้นมักจะเกี่ยวข้องกับลำดับชั้นบางส่วนบ่อยครั้งที่มีบันไดบริการ ยิ่งความรู้ประสบการณ์ความสามารถความสามารถการเข้าพัก Blat ฯลฯ มากขึ้น - ตำแหน่งที่สูงขึ้นและช่วงของความเป็นไปได้ ฉันแสดงออกโดยเยาวชนภายใต้ตำแหน่งหมายถึงระดับทั่วไปของ "ความสูงชัน" และพี่น้องคณิตศาสตร์ของเราอาศัยอยู่ตามหลักการเดียวกัน ฉันจะนำโดยพลการสำหรับการเดินเล่น Zero Matrices คิดเกี่ยวกับถ้าในเมทริกซ์ ศูนย์บางแห่ง

เราสามารถพูดถึงอันดับอะไรได้บ้าง ทุกคนคุ้นเคยกับการแสดงออกอย่างไม่เป็นทางการ "เต็มศูนย์" ในสังคมเมทริกซ์ทั้งหมดเหมือนกัน:

อันดับศูนย์เมทริกซ์ ขนาดใดก็ได้เป็นศูนย์ บันทึก .

-1 & 3 & -3 \\ : เมทริกซ์เป็นศูนย์ถูกระบุโดยตัวอักษรกรีก "Theta"

เพื่อที่จะเข้าใจอันดับของเมทริกซ์ที่นี่ดีกว่าแล้วฉันจะดึงดูดวัสดุให้กู้ภัย :

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

. พิจารณาศูนย์ ความรู้เกี่ยวกับเกรดของเมทริกซ์จะเพิ่มอันดับของคุณ =) เวกเตอร์ พื้นที่สามมิติของเราที่ไม่ได้ระบุทิศทางที่แน่นอนและไร้ประโยชน์ในการสร้าง ฐานเค้า

. จากมุมมองเชิงพีชคณิตพิกัดของเวกเตอร์นี้จะถูกบันทึกไว้ใน เมทริกซ์ "หนึ่งถึงสาม" และตรรกะ (ในความรู้สึกทางเรขาคณิตที่ระบุ) มันเป็นสิ่งจำเป็นที่อันดับของเมทริกซ์นี้เป็นศูนย์ ตอนนี้พิจารณาไม่กี่

นูลวิท เวกเตอร์คอลัมน์ สตริงเวกเตอร์

ในแต่ละอินสแตนซ์มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบและนี่เป็นสิ่งที่อยู่แล้ว!

วิธีการหาอันดับของเมทริกซ์? ความรู้เกี่ยวกับเกรดของเมทริกซ์จะเพิ่มอันดับของคุณ =) เวกเตอร์ อันดับของสตริงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์เวกเตอร์) เท่ากับหนึ่ง และพูดโดยทั่วไป - ถ้าอยู่ในเมทริกซ์ ขนาดโดยพลการ

มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งอันจากนั้นอันดับของเธอ ไม่น้อย หน่วย .

สายเวกเตอร์พีชคณิตและเวกเตอร์คอลัมน์เป็นนามธรรมเป็นนามธรรมดังนั้นเราจะหันกลับไปที่การเชื่อมโยงทางเรขาคณิต nenuleva

ระบุทิศทางที่กำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ในอวกาศและเหมาะสำหรับการก่อสร้าง : เป็นนามธรรม ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาหน่วยที่เท่ากัน ใบรับรองทฤษฎี

: ในพีชคณิตเชิงเส้นเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบของพื้นที่เวกเตอร์ (กำหนดผ่าน 8 สัจพจน์) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถเป็นสตริงที่สั่งซื้อ (หรือคอลัมน์) ของตัวเลขที่ถูกต้อง ด้วยการดำเนินงานที่ชัดเจนสำหรับพวกเขา และการคูณในจำนวนที่ถูกต้อง

. ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น พิจารณาเมทริกซ์ มีสายของใคร .

ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

(แสดงออกในกันและกัน) จากมุมมองทางเรขาคณิตพิกัดของเวกเตอร์ Collinear จะถูกบันทึกในสตริงที่สอง ใครที่ไม่ได้ยกระดับในการสร้าง ฐานสามมิติ เป็นส่วนเกินในแง่นี้ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์นี้ก็เท่ากับหนึ่ง เราเขียนพิกัดของเวกเตอร์ใหม่ในคอลัมน์ (

การเปลี่ยนเมทริกซ์ ): มีการเปลี่ยนแปลงอะไรจากมุมมองของอันดับ? ไม่มีอะไร คอลัมน์เป็นสัดส่วนหมายความว่าอันดับเท่ากับหนึ่ง โดยวิธีโปรดทราบว่าทั้งสามบรรทัดเป็นสัดส่วนเช่นกัน พวกเขาสามารถระบุได้กับพิกัด สาม เวกเตอร์เครื่องบิน collinear ที่ เพียงหนึ่งเดียว มันมีประโยชน์สำหรับการสร้างฐาน "แบน" และสิ่งนี้สอดคล้องกับความรู้สึกเรขาคณิตของเรา ตัวอย่างข้างต้นเป็นไปตามคำสั่งที่สำคัญ: อันดับของเมทริกซ์บนแถวเท่ากับเกรดของคอลัมน์ .

. ฉันพูดถึงบทเรียนเล็ก ๆ น้อย ๆ นี้เกี่ยวกับประสิทธิภาพที่มีประสิทธิภาพ

วิธีการคำนวณปัจจัย : จากการพึ่งพาเชิงเส้นของสตริงตามการพึ่งพาเชิงเส้นของคอลัมน์ (และในทางกลับกัน) แต่เพื่อประหยัดเวลาและเพราะนิสัยฉันมักจะพูดคุยเกี่ยวกับการพึ่งพาเส้นตรงของเส้น ฝึกสัตว์เลี้ยงที่เราโปรดปรานต่อไป เพิ่มลงในเมทริกซ์ของพิกัดบรรทัดที่สามของเวกเตอร์คอลเล็กอื่น เขาช่วยในการสร้างพื้นฐานสามมิติหรือไม่? แน่นอนไม่ เวกเตอร์ทั้งสามเดินไปที่นั่นและที่นี่ในหนึ่งแทร็กและอันดับของเมทริกซ์เท่ากับหนึ่ง คุณสามารถใช้งานคอลลิเนียนได้กี่คนกล่าวว่า 100 ใส่พิกัดของพวกเขาในเมทริกซ์ "หนึ่งร้อยต่อหนึ่ง" และอันดับของตึกระฟ้าดังกล่าวจะยังคงเป็นหนึ่งเดียว ทำความคุ้นเคยกับเมทริกซ์ อิสระเป็นเชิงเส้น . เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คู่

เหมาะสำหรับการสร้างพื้นฐานสามมิติ อันดับของเมทริกซ์นี้เป็นสอง และอันดับของเมทริกซ์คืออะไร ? แถวดูเหมือนจะไม่สัดส่วน ... มันหมายถึงในความคิดของสาม อย่างไรก็ตามอันดับของเมทริกซ์นี้ยังเท่ากับสอง ฉันพับสองบรรทัดแรกและบันทึกผลลัพธ์ด้านล่างนั่นคือ แสดงเชิงเส้น บรรทัดที่สามผ่านสองคนแรก สายเมทริกซ์เรขาคณิตสอดคล้องกับสามพิกัด เวกเตอร์ .

การทำงานในสามคนนี้มีสหายที่ไม่ใช่คู่หู

อย่างที่เห็น

ติดยาเสพติดเชิงเส้น ในเมทริกซ์ที่ถือว่าไม่ชัดเจนและวันนี้เราจะเรียนรู้ที่จะถอนมัน "ในน้ำสะอาด"

ฉันคิดว่าหลายคนคาดเดาว่าแถวของเมทริกซ์คืออะไร! . เวกเตอร์ แบบฟอร์ม .

เค้าโคส และอันดับของเมทริกซ์นี้คือสาม อย่างที่คุณทราบว่าสี่ที่ห้าที่ห้าที่สิบของพื้นที่สามมิติจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์พื้นฐาน ดังนั้นถ้าในเมทริกซ์ เพิ่มจำนวนบรรทัดใด ๆ จากนั้นอันดับของมัน มันจะยังคงเป็นสาม

อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันสามารถดำเนินการสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ (ชัดเจนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต) คำนิยาม อันดับของเมทริกซ์เป็นจำนวนสูงสุดของบรรทัดอิสระเชิงเส้น .

. หรือ: อันดับของเมทริกซ์เป็นจำนวนสูงสุดของคอลัมน์อิสระเชิงเส้น .

. ใช่หมายเลขของพวกเขามักเกิดขึ้นเสมอ

ของที่กล่าวมาข้างต้นสถานที่สำคัญที่สำคัญก็คือ:

อันดับของเมทริกซ์ไม่เกินมิติขั้นต่ำ

. ตัวอย่างเช่นในเมทริกซ์

สี่บรรทัดและห้าคอลัมน์ มิติขั้นต่ำคือสี่ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์นี้ไม่เกิน 4

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ การกำหนด

: ในทฤษฎีโลกและการปฏิบัติไม่มีมาตรฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไปสำหรับการกำหนดเกรดของเมทริกซ์บ่อยครั้งที่คุณสามารถตอบสนอง:

- ตามที่พวกเขาพูดชาวอังกฤษเขียนหนึ่งภาษาเยอรมันอื่น ๆ ดังนั้นขอให้ขึ้นอยู่กับเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับนรกชาวอเมริกันและรัสเซียเพื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์ตามคำภาษาพื้นเมือง ตัวอย่างเช่น: . และถ้าเมทริกซ์ "ไม่มีชื่อ" Koim พบกันมากคุณสามารถบันทึกได้ .

วิธีการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ด้วยความช่วยเหลือของผู้เยาว์? บนคลาส O. .

การคำนวณของปัจจัย :

และอยู่ เมทริกซ์ย้อนกลับ เราได้พบกับผู้เยาว์ของลำดับที่สองแล้วที่ได้รับจากการทดลองแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์ "สามสาม" ตอนนี้เราจะขยายแนวคิดของผู้เยาว์และให้คำจำกัดความ ... อย่าถอนหายใจอย่างหนักที่นี่พร้อมรูปภาพ =) ผู้เยาว์

, , .

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมทริกซ์เรียกว่า

กำหนด .

ประกอบด้วยตัวเลขที่อยู่ในจุดตัดของต่าง ๆ , แถวและต่างกัน :

คอลัมน์ของเมทริกซ์ จำนวน

โทร

สั่งซื้อ Minra  

โปรดทราบว่าเมทริกซ์นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส พิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

วิธีการรับการสั่งซื้อครั้งที่ 2? คุณต้องเลือกสองบรรทัดโดยพลการตัวอย่างเช่น

2 และ 4 และอยู่ ยกตัวอย่างเช่นคอลัมน์โดยพลการสองคอลัมน์ 3rd และ 5th และตัวเลขในทางแยกของพวกเขา เขียนในเล็กน้อยของลำดับที่สอง: . มีการสั่งซื้อครั้งที่ 2 ของผู้เยาว์กี่คน? หลายคน มีสูตร combinatorial พิเศษสำหรับการคำนวณจำนวนชนกลุ่มน้อย แต่ภายในกรอบของบทเรียนนี้นี่เป็นข้อมูลที่มีอยู่ต่ำ .

เราได้รับการสั่งซื้อครั้งที่สามเล็กน้อย เราพิจารณาสามบรรทัดโดยพลการตัวอย่างเช่น ที่ 1, 3 และ 4

ยกตัวอย่างสามคอลัมน์โดยพลการ ที่ 1, 2 และ 4 และจากจุดตัดของพวกเขา "ลบ" เล็กน้อยคำสั่งที่ 3: สำหรับผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 4 จากนั้นตัวเลือกมีขนาดเล็กแล้ว: จำเป็นต้องใช้คอลัมน์ทั้งหมด 4 บรรทัดและสี่คอลัมน์โดยพลการเช่นคอลัมน์ทั้งหมดยกเว้น 3 ข้อที่ 3: )

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์เกรดด้วยความช่วยเหลือของผู้เยาว์ เป็นตัวอย่างใช้เมทริกซ์เดียวกัน . เนื่องจากเมทริกซ์มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์อันดับของมันไม่น้อยกว่าหนึ่งและเห็นได้ชัดว่าไม่เกิน 4. วิธีการกระทำต่อไป?

ถัดไปมีความจำเป็นต้องเริ่มต้น Brutex และคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 เป็นศูนย์อันดับเมทริกซ์เท่ากับหนึ่ง แต่มันไม่น่าเป็นไปได้มากไม่ช้าก็เร็ว (บ่อยครั้งที่มักจะเร็ว) จิตใจของ Nenulul จะได้พบกัน และความจริงนี้หมายความว่าอันดับของเมทริกซ์ .

ไม่น้อยกว่าสอง ในขั้นตอนต่อไปเราสาบานอย่างต่อเนื่องและคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 3 หากคนงานเหมืองเหล่านี้เป็นศูนย์แล้ว . ถ้ามินทร์พบกัน

เราสรุปได้ว่าอันดับของเมทริกซ์

อย่างน้อยสาม

และไปที่ขั้นตอนต่อไป

สี่บรรทัดและห้าคอลัมน์ มิติขั้นต่ำคือสี่ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์นี้ไม่เกิน 4

หน้าอกและคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 4 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับที่ 4 เท่ากับศูนย์แล้ว

ถ้าฉันพบผู้เยาว์ ต. ดังนั้น :

อันดับของเมทริกซ์เท่ากับลำดับสูงสุดของ Nonzero Minor รูปแบบของ "Lob ในหน้าผาก" มักถูกวิพากษ์วิจารณ์ แต่ผิดปกติพอในหลาย ๆ กรณีมันให้ผลลัพธ์ที่ดี อย่างไรก็ตามควรสังเกตระยะเวลาของกระบวนการและเพื่อลดจำนวนการคำนวณที่พัฒนาขึ้น: วิธีการของลูกน้อยที่คึกคัก .

อัลกอริทึมทั่วไปฉันเกรงว่าจะมีน้อยที่จะเข้าใจมันง่ายกว่าที่จะแยกชิ้นส่วนในงานที่เฉพาะเจาะจง:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาเศษผ้าของเมทริกซ์โดยวิธีการของผู้เยาว์ที่คึกคัก

: Dana Square Matrix "สี่สี่" และแน่นอนว่าอันดับของมันไม่เกินสี่ 9 & 7 และ 8 & -7 \ end {array} \ ขวา) $ เราคิดค่าบริการ:

เนื่องจากเมทริกซ์มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แล้วอันดับของมัน

ไม่น้อยกว่าหน่วย

การตรวจสอบผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 เริ่มต้นด้วยที่เรียกว่า

มุมย่อย ดังนั้นไปที่ผู้เยาว์ ดังนั้นการจัดอันดับเมทริกซ์

ไม่น้อยกว่าสอง . จะต้องทำอย่างไรหากผู้เยาว์นี้กลายเป็นศูนย์? ในกรณีนี้เราพิจารณาผู้เยาว์

และถ้าเป็นศูนย์เราไปไกลกว่านี้:

หากจำเป็น (เมื่อมี zeros อยู่คนเดียว) การค้นหาของผู้เยาว์ควรดำเนินการต่อโดยโครงการที่คล้ายกัน: บรรทัดที่ 1 และ 3;

บรรทัดที่ 1 และ 4; บรรทัดที่ 2 และ 3; เส้นที่ 2 และ 4 บรรทัดที่ 3 และ 4 - จนกว่าผู้เยาว์จะเป็นครั้งแรกที่แตกต่างจากศูนย์ หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 กลายเป็นศูนย์แล้ว แต่ในกรณีของเราในขั้นตอนที่สองพบว่า "ดี" เล็กน้อยและตอนนี้เราไปพิจารณาของผู้เยาว์ลำดับที่สาม ค้นหาขากับเพื่อนร่วมงานที่อายุน้อยกว่า

ซึ่งจะรวมอยู่ในคำสั่งซื้อสูงสุดทั้งหมดในคำถาม คำถาม "คุณจะเป็นอันดับสาม" สามารถส่งถึงสหายสีแดงหรือสีเขียว: :

จะเป็นคอลัมน์ที่ห้า - เพื่อนอีกคนจะพบ

เริ่มต้นด้วยสีแดงกัน:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ ไม่ได้ช่วย ตอนนี้เข้าใจความโลภ:

ยังไม่ดี รู้สึกถึงขาด้านล่างและใช้ตัวเลข "ม้วน" และ "สีน้ำตาล" อย่างสม่ำเสมอ: ครั้งแรกที่ "สีน้ำเงิน" กับ "ราสเบอร์รี่": อย่างน้อยสาม

. หากผู้เยาว์นี้กลายเป็นศูนย์แล้วก็จำเป็นต้องคำนวณปัจจัยจากตัวเลข "สีน้ำเงิน" และ "สีน้ำตาล" ผู้เยาว์อื่น ๆ ของการสั่งซื้อที่ 3 ซึ่งมีไมเนอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่อายุน้อยที่สุด - ไม่

. และถ้า "สีน้ำตาลสีน้ำเงิน" มุ่งมั่นที่จะกินเบเกิลแล้ว

ผู้เยาว์ของการสั่งซื้อที่ 3 จริง ๆ แล้วและวิธีการที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในกรณีนี้ช่วยให้คุณสามารถลดการคำนวณสูงสุดได้ถึงสี่ปัจจัย ความสำเร็จของเรากำลังรอขั้นตอนที่ 3 และ "ดี" ไม่ใช่ศูนย์รอง

รองเท้าชุบแข็ง:

ตอนนี้คอลัมน์ "สีน้ำเงิน" และ "ราสเบอร์รี่"

จะต้องป้อนผู้เยาว์ทั้งหมดของคำสั่งซื้อสูงสุด

7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: :

. ในกรณีนี้นี่เป็นเพียงเล็กน้อยของคำสั่งที่ 4 ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับตัวกำหนดของเมทริกซ์:

(เนื่องจากเส้นที่ 2 และ 3 เป็นสัดส่วน - ดู

คุณสมบัติของปัจจัย

ถ้า W. ยิว เราอยู่ในเมทริกซ์มีคอลัมน์ที่ห้ามีความจำเป็นต้องคำนวณลำดับเล็กน้อยของลำดับที่ 4 ("สีน้ำเงิน", "ราสเบอร์รี่" + คอลัมน์ที่ 5)

เอาท์พุท

: คำสั่งสูงสุดของ Nonzero Minraul คือสามหมายความว่า

บางทีไม่สามารถเข้าใจได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นกับวลีนี้: ผู้เยาว์ของลำดับที่ 4 เป็นศูนย์ แต่ในบรรดาผู้เยาว์ของการสั่งซื้อที่ 3 พบว่าไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นการสั่งซื้อสูงสุด

ไม่ใช่ศูนย์

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ เล็กน้อยและเท่ากับสาม

คำถามเกิดขึ้นและทำไมไม่คำนวณปัจจัยทันที? ประการแรกในงานส่วนใหญ่เมทริกซ์ไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ประการที่สองแม้ว่าคุณจะมีค่าที่ไม่ใช่ศูนย์งานที่มีความน่าจะเป็นสูงใช้งานตามที่มักจะแสดงถึงการแก้ปัญหา "ล่างขึ้นล่าง" มาตรฐาน และในตัวอย่างการพิจารณาการกำหนดศูนย์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 4 และโดยสิ้นเชิงชี้ให้เห็นว่าเศษผ้าของเมทริกซ์มีน้อยกว่าสี่เท่านั้น

ฉันต้องสารภาพงานถอดประกอบฉันมากับตัวเองเพื่ออธิบายวิธีการของผู้เยาว์ที่คึกคักได้ดีขึ้น ในการฝึกฝนจริงทุกอย่างง่ายขึ้น:

ตัวอย่างที่ 2

วิธีแก้ปัญหาและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เมื่ออัลกอริทึมทำงานได้เร็วขึ้น? ลองกลับไปที่เมทริกซ์ "สี่สี่" เดียวกันกัน

. เห็นได้ชัดว่าการตัดสินใจจะสั้นที่สุดในกรณีที่ "ดี"

มุมย่อย

7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: :

และถ้า

ต.

, มิฉะนั้น -

การสะท้อนกลับไม่ได้อยู่ที่สมมุติฐานทั้งหมด - มีตัวอย่างมากมายที่ทุกอย่างถูก จำกัด โดยนักขุดมุมเท่านั้น

อย่างไรก็ตามในบางกรณีวิธีอื่นมีประสิทธิภาพมากขึ้น:

วิธีการค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีเกาส์?

ย่อหน้าได้รับการออกแบบสำหรับผู้อ่านที่คุ้นเคยอยู่แล้ว และมือเล็ก ๆ น้อย ๆ จากมุมมองทางเทคนิควิธีการไม่แตกต่างจากความแปลกใหม่: 1) ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงระดับประถมศึกษาเราให้เมทริกซ์กับประเภทขั้นตอน; 2) เศษผ้าของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถว

เป็นที่ชัดเจนว่า การใช้วิธี Gauss ไม่เปลี่ยนเกรดของเมทริกซ์ และสาระสำคัญที่นี่ง่ายมาก: ตามอัลกอริทึมในระหว่างการเปลี่ยนแปลงระดับประถมศึกษาทั้งหมดสัดส่วนสัดส่วน (ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น) ทั้งหมดจะถูกตรวจพบและลบออกเป็นผลมาจากสิ่งที่เหลืออยู่ของ "แห้งแห้ง" - จำนวนสูงสุดของเชิงเส้น เส้นอิสระ เราเปลี่ยนเมทริกซ์ที่คุ้นเคยเก่าพร้อมพิกัดของสามเวกเตอร์ Collinear: (1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มบรรทัดแรก

(2) สตริงศูนย์ลบ ดังนั้นหนึ่งบรรทัดยังคงอยู่ดังนั้น  – . สิ่งที่จะพูดเร็วกว่าการคำนวณเก้าผู้เยาว์ศูนย์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 และสรุปเท่านั้น ฉันเตือนคุณว่าในตัวเอง พีชคณิตเมทริกซ์ เป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนแปลงอะไรและการเปลี่ยนแปลงจะดำเนินการเพื่อชี้แจงอันดับ! โดยวิธีการที่จะหยุดอีกครั้งในคำถามทำไมไม่? แหล่งที่มาเมทริกซ์  – ดำเนินการข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลเมทริกซ์พื้นฐาน และสตริง

. ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่าง (โดยไม่พูดเกินจริง) ความแตกต่างในจำนวนหนึ่งอาจเป็นเรื่องของชีวิตและความตาย ... ฉันจำได้ว่าครูโรงเรียนของคณิตศาสตร์ของชนชั้นหลักและชนชั้นกลางซึ่งโหดเหี้ยมตัดประมาณ 1-2 คะแนนสำหรับความไม่ถูกต้องหรือการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากอัลกอริทึม และมันก็เป็นการดูถูกอย่างมากเมื่อดูเหมือนว่ามันจะดูเหมือนรับประกันว่า "ห้า", "ดี" หรือแย่ลง ความเข้าใจมาในภายหลังมากขึ้น - และวิธีการที่จะมอบความไว้วางใจจากดาวเทียมบุคคล, หัวรบนิวเคลียร์และโรงไฟฟ้า? แต่คุณไม่ต้องกังวลฉันไม่ทำงานในพื้นที่เหล่านี้ =)

ให้เราหันไปหางานที่ให้ข้อมูลมากขึ้นที่เหนือสิ่งอื่นใดเราจะทำความคุ้นเคยกับเทคนิคการคำนวณที่สำคัญ

วิธีเกาส์

ตัวอย่างที่ 3

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ ค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้การแปลงระดับประถมศึกษา : Dana Matrix "สี่ห้า" ซึ่งหมายความว่าการจัดอันดับของมันไม่เกิน 4 ในคอลัมน์แรกไม่มี 1 หรือ -1 ดังนั้นจำเป็นต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อรับอย่างน้อยหนึ่งหน่วย ในทุกเวลาของเว็บไซต์ฉันถามคำถามซ้ำ ๆ : "เป็นไปได้หรือไม่ที่จะจัดเรียงคอลัมน์ใหม่ในระหว่างการแปลงระดับประถมศึกษา?" ที่นี่ - จัดเรียงคอลัมน์ที่สองที่สองใหม่และทุกอย่างเรียบร้อยดี! ในภารกิจส่วนใหญ่ที่ใช้ วิธีเกาส์ คอลัมน์สามารถจัดเรียงใหม่ได้จริงๆ แต่ไม่จำเป็น และจุดนี้ไม่ได้อยู่ในความสับสนที่เป็นไปได้ด้วยตัวแปรความจริงก็คือในหลักสูตรคลาสสิกของการฝึกอบรมคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นการกระทำนี้ไม่ได้รับการพิจารณาแบบดั้งเดิมดังนั้นจึงจะคดเคี้ยวมากที่ Renewress ดังกล่าว (แล้วมันจะเป็น บังคับทุกอย่าง)

จุดที่สองเกี่ยวข้องกับตัวเลข ในระหว่างการตัดสินใจมันมีประโยชน์ที่จะได้รับคำแนะนำจากกฎเชิงประจักษ์ต่อไปนี้: การแปลงระดับประถมศึกษาสามารถลดได้ตามหมายเลขเมทริกซ์ถ้าเป็นไปได้ :

. หลังจากที่ทุกหน่วย - สองสามมันง่ายกว่าการทำงานง่ายกว่าเช่นตั้งแต่ 23, 45 และ 97 และการกระทำแรกถูกนำไปยังไม่เพียง แต่จะได้รับหน่วยในคอลัมน์แรก แต่ยัง เพื่อกำจัดตัวเลข 7 และ 11 เป็นทางออกที่สมบูรณ์ก่อนจากนั้นแสดงความคิดเห็น: .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 (2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน ลบบรรทัดที่ 3 และ 4 บรรทัดที่สองย้ายไปยังสถานที่แรก (3) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3  ในเมทริกซ์สองบรรทัดที่มอบให้กับเวที บันทึก )

ตอนนี้เทิร์นของคุณคือการทรมานเมทริกซ์สี่สี่: .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 ตัวอย่างที่ 4 ค้นหา The Rang Matrix โดย Gauss  ฉันเตือนคุณว่า

. หรือ: .

ถัดไปมีความจำเป็นต้องเริ่มต้น Brutex และคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 เป็นศูนย์อันดับเมทริกซ์เท่ากับหนึ่ง แต่มันไม่น่าเป็นไปได้มากไม่ช้าก็เร็ว (บ่อยครั้งที่มักจะเร็ว) จิตใจของ Nenulul จะได้พบกัน : วิธีเกาส์ ไม่ถือว่าความแข็งแกร่งที่ไม่ชัดเจนและการตัดสินใจของคุณมีแนวโน้มที่จะแตกต่างจากการตัดสินใจของฉัน งานออกแบบตัวอย่างสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน

วิธีการใช้ในการค้นหาเกรดของเมทริกซ์คืออะไร? คำถาม "คุณจะเป็นอันดับสาม" สามารถส่งถึงสหายสีแดงหรือสีเขียว: ในทางปฏิบัติมักจะไม่ถูกกล่าวเลยที่วิธีการใดที่ต้องใช้ในการค้นหาอันดับ ในสถานการณ์ดังกล่าวเงื่อนไขควรวิเคราะห์ - สำหรับบางเมทริกซ์มันมีเหตุผลมากขึ้นที่จะดำเนินการแก้ปัญหาผ่านผู้เยาว์และสำหรับคนอื่น ๆ มันมีกำไรมากขึ้นในการใช้การเปลี่ยนแปลงระดับประถมศึกษา: ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอันดับเมทริกซ์ : วิธีแรกที่หายไปทันที =) ข้างต้นฉันขอแนะนำให้ไม่แตะคอลัมน์ของเมทริกซ์ แต่เมื่อมีคอลัมน์ศูนย์หรือคอลัมน์ที่เป็นสัดส่วน / ความเหมือนกันมันยังคงคุ้มค่ากับการตัดแขนขา:

(1) คอลัมน์ศูนย์ที่ห้าลบออกจากเมทริกซ์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ไม่เกินสี่ บรรทัดแรกถูกคูณด้วย -1 นี่เป็นวิธี Gauss ที่มีตราสินค้าอื่นซึ่งเปลี่ยนผลต่อไปนี้ในการเดินที่น่าพอใจ: (2) ทุกแถวเริ่มต้นด้วยที่สองเพิ่มสตริงแรก :

(3) บรรทัดแรกถูกคูณด้วย -1 บรรทัดที่สามแบ่งออกเป็น 2 บรรทัดที่สี่แบ่งออกเป็น 3 เป็นบรรทัดที่ห้าเพิ่มสตริงที่สองคูณด้วย -1 เป็นทางออกที่สมบูรณ์ก่อนจากนั้นแสดงความคิดเห็น: .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 (2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน ลบบรรทัดที่ 3 และ 4 บรรทัดที่สองย้ายไปยังสถานที่แรก (4) ไปยังบรรทัดที่ห้าเพิ่มบรรทัดที่สามคูณด้วย -2 (5) สองบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วนกับการลบที่ห้า

เป็นผลให้ 4 บรรทัดได้รับ มาตรฐานห้าชั้นสำหรับการศึกษาด้วยตนเอง: .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 ตัวอย่างที่ 4 ตัวอย่างที่ 6   ค้นหาอันดับเมทริกซ์

. หรือ: .

ถัดไปมีความจำเป็นต้องเริ่มต้น Brutex และคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 เป็นศูนย์อันดับเมทริกซ์เท่ากับหนึ่ง แต่มันไม่น่าเป็นไปได้มากไม่ช้าก็เร็ว (บ่อยครั้งที่มักจะเร็ว) จิตใจของ Nenulul จะได้พบกัน : วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ควรสังเกตว่าวลี "อันดับของเมทริกซ์" จะไม่ตรงกับการปฏิบัติบ่อยครั้งและในงานส่วนใหญ่ที่คุณสามารถทำได้หากไม่มีมัน แต่มีงานหนึ่งที่แนวคิดภายใต้การพิจารณาคือบุคคลสำคัญและในบทสรุปของบทความที่เราจะพิจารณาการใช้งานจริงนี้:

วิธีการตรวจสอบระบบสมการเชิงเส้นสำหรับหน่วย?

บ่อยครั้งนอกเหนือไปจากการแก้ปัญหา เป็นทางออกที่สมบูรณ์ก่อนจากนั้นแสดงความคิดเห็น: .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 (2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน ลบบรรทัดที่ 3 และ 4 บรรทัดที่สองย้ายไปยังสถานที่แรก (4) ไปยังบรรทัดที่ห้าเพิ่มบรรทัดที่สามคูณด้วย -2 ระบบสมการเชิงเส้น .

(1) บรรทัดที่สองเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -2 ไปยังบรรทัดที่สามเพิ่มสตริงแรกคูณด้วย -3 และเพื่อให้ฮีป: บรรทัดที่ 1 ถูกเพิ่มไปยังบรรทัดที่ 4 คูณด้วย -1 ตัวอย่างที่ 4 ตามเงื่อนไขการตรวจสอบล่วงหน้าเป็นหน่วยนั่นคือเพื่อพิสูจน์ว่ามีการตัดสินใจใด ๆ เลย บทบาทสำคัญในการตรวจสอบดังกล่าว (5) สองบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วนกับการลบที่ห้า

Caperera Capera ทฤษฎีบท ฉันกำหนดรูปแบบที่ต้องการ:

ถัดไปมีความจำเป็นต้องเริ่มต้น Brutex และคำนวณผู้เยาว์ของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 หากผู้เยาว์ทั้งหมดของการสั่งซื้อครั้งที่ 2 เป็นศูนย์อันดับเมทริกซ์เท่ากับหนึ่ง แต่มันไม่น่าเป็นไปได้มากไม่ช้าก็เร็ว (บ่อยครั้งที่มักจะเร็ว) จิตใจของ Nenulul จะได้พบกัน : ถ้าอันดับ เมทริกซ์ระบบ

เท่ากับรัง

ระบบเสริมเมทริกซ์

จากนั้นระบบจะประสานงานและหากหมายเลขนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนที่ไม่รู้จักโซลูชันนั้นไม่ซ้ำกัน

ดังนั้นเพื่อศึกษาระบบเพื่อความเข้ากันได้คุณต้องตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน

เมทริกซ์ระบบ 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (จำคำศัพท์จากบทเรียน วิธีเกาส์ ) และ เมทริกซ์ระบบขยาย (i.e. เมทริกซ์กับสัมประสิทธิ์กับตัวแปร + คอลัมน์ของสมาชิกฟรี) 7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: :

ทุกอย่างง่าย: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ ตัวอย่างที่ 7 สำรวจระบบสำหรับเครื่องแบบและค้นหาวิธีการแก้ปัญหาหากระบบมีการประสานงาน และเมื่อระบบสามารถย้อนกลับได้แล้ว - เป็นสองเท่า ... ไม่ - triple =) : อย่างไรก็ตามให้ความสนใจกับเส้นชั้นนำที่เข้มงวด - ตามเงื่อนไข ประการแรก จำเป็นต้องตรวจสอบระบบสำหรับหน่วย วิธีการเริ่มการตัดสินใจ? อย่างไรก็ตาม 7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: :

เราเขียนเมทริกซ์ระบบที่ขยายและด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงระดับประถมศึกษาที่เรานำไปสู่ประเภทขั้นตอน: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ a) ตัวอย่างหมายเลขที่ 1 ของบทความเกี่ยวกับ วิธีการยกเว้นที่ไม่รู้จัก การเปลี่ยนแปลงระดับประถมศึกษาไม่เปลี่ยนอันดับของเมทริกซ์ดังนั้นเมทริกซ์แหล่งที่เทียบเท่าของระบบจะได้รับเป็นผลมาจากการกระทำ 7 \ end {array} \ ขวา | = 0 $ (ดูคุณสมบัติ # 3 ในหัวข้อของคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด) หรือเป็นไปได้ที่จะคำนวณปัจจัยกำหนดนี้โดยใช้สูตรหมายเลข 1 จากส่วนในการคำนวณตัวกำหนดลำดับที่สองและที่สาม: :

และเสริมเมทริกซ์ระบบ

 ระบบเสริมเมทริกซ์

คำสั่งสูงสุดของ Nonzero Minor

เมทริกซ์ระบบ

เท่ากับสาม ที่นี่ในสำเนาเดียวและเกิดขึ้นพร้อมกันมันชัดเจนด้วยตัวกำหนดของเมทริกซ์ตัวเอง:

(ดูบทเรียนเกี่ยวกับ

Добавить комментарий