Матрицаның бағасын анықтау бойынша есептеу.

Матрицаның бағасының анықтамасы. Матрицаның бағасын анықтау бойынша есептеу.

Дәреже матрицасының тұжырымдамасымен жұмыс істеу үшін бізге «Алгебралық қондырмалар және кәмелетке толмағандар» тақырыбында ақпарат қажет. Аз ұлттардың түрлері және алгебралық қоспалар. Біріншіден, бұл «кіші матрица» терминіне қатысты, өйткені матрица атағы кәмелетке толмағандар арқылы анықталады.

Дәрежедегі матрица Кәмелетке толмаған баланың максималды тәртібіне қоңырау шалыңыз, олардың ішінде кем дегенде біреуі нөлге тең емес.

Балама матрицалар - олардың қатарына кіретін матрицалар.

Толығырақ түсіндірейік. Екінші ретті кәмелетке толмағандар арасында нөлден басқа кемінде бір нәрсе бар делік. Тапсырысы екіден жоғары барлық кәмелетке толмағандар нөлге тең. Қорытынды: Матрица атағы 2, мысалы,, мысалы, оныншы ретпен кәмелетке толмағандар арасында кем дегенде біреуі бар, нөлге тең емес. Барлық кәмелетке толмағандар, оның бұйрығы 10-нан жоғары. Қорытынды: матрицаның сақинасы - 10.

Matrix-тің бағасы $ A $ белгіленді: $ \ $ \ Rang $ немесе $ R (a) $. Нөлдік дәрежедегі Matrix $ o $ o $ нөлге тең болып саналады, $ \ Rang \ Rang O = 0 $. Кәмелетке толмағандар үшін, матрица жолдар мен бағандарды бұрау үшін қажет екенін еске салайын, алайда, жолдар мен бағандарды матрицаның өзіден артық жою үшін, мүмкін емес. Мысалы, егер $ f $ матрицасы болса, $ 5 \ EARE $ 4 (I.e. 5 жолдан және 4 баған бар), содан кейін оның кәмелетке толмағанының ең үлкен тәртібі төртке тең. Бесінші ретті кәмелетке толмағандар жетістікке жете алмайды, өйткені оларға 5 баған қажет болады (және бізде бар болғаны 4). Бұл дегеніміз, $ F $ матрицасының дәрежесі төртден аспауы керек, яғни I.E. $ \ Rang f≤4 $.

Жоғарыда көрсетілгендей, жоғарыда айтылғандар, егер матрица $ m $ Row және $ N $ бағандар болса, онда оның дәрежесі ең аз $ m $ және $ N $ -ден аспауы керек. $ \ Rang a≤ \ min (m, n) $.

Негізінде, оны табу әдісі дәрежеде орынға ие болды. Матрица дәрежесін анықтау процесі схемалық түрде ұсынылуы мүмкін:

Демек,

Мен бұл схеманы толығырақ түсіндіремін. Басынан бастап сөйлейік, И.Е. Кейбір матрицаның бірінші ретті кәмелетке толмағандардан $ A $.

  1. Егер бірінші ретті барлық кәмелетке толмағандар (яғни, $ A $ ARE) нөлге тең болса, онда $ \ Rang a = 0 $. Егер бірінші ретті кәмелетке толмағандар арасында болса, кем дегенде біреуі бар, нөлге тең емес, содан кейін $ \ Rang $ 1. Екінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеруге барыңыз.
  2. Егер екінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, онда $ \ Rang a = 1 $. Егер екінші ретті кәмелетке толмағандар арасында болса, онда кем дегенде біреуі бар, нөлге тең, $ \ Rang $ 2. Үшінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеру үшін барыңыз.
  3. Егер барлық үшінші ретті кәмелетке толмағандар нөл болса, онда $ \ Rang a = $ 2. Егер үшінші ретті кәмелетке толмағандар арасында болса, кем дегенде біреуі бар, нөлге тең емес, содан кейін $ \ Rang $ 3. Төртінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеру үшін барыңыз.
  4. Егер барлық төртінші тапсырыс кәмелетке толмағандар нөл болса, онда $ \ Rang A = $ 3. Егер төртінші ретті кәмелетке толмағандар арасында болса, кем дегенде біреуі бар, нөлге тең емес, содан кейін $ \ Rang $ 4. Бесінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеріп, т.б.

Осы процедураның соңында бізді не күтеді? Кәдімгі кәмелетке толмағандардың арасында кәмелетке толмағандар арасында нөлден кем емес, және тапсырыс бойынша барлық кәмелетке толмағандар (K + 1) нөлге тең болады. Бұл K-ның максималды тәртібі, олардың ішінде кем дегенде біреуі бар, яғни нөлге тең емес, I.E. Дәреже k-ге тең болады. Әр түрлі жағдай болуы мүмкін: K-ші ретті кәмелетке толмағандар арасында кем дегенде бір-бірден нөлге тең емес, ал кәмелетке толмағандар (k + 1) процедураны қалыптастыруға болмайды. Бұл жағдайда матрицаның шүберекі де k-ге тең. Қысқаша айтқанда, Соңғы нөлдік емес бітті және матрицаның шеттеріне тең болады .

Матрица дәрежесін анықтау процесі анықтама бойынша мысалдарға жүгінейік. Осы тақырыптың мысалдарында біз осы тақырыптың мысалдарында біз рангтың анықтамасын қолдана отырып, біз тағы да ерекше назар аударамыз. Басқа әдістер (Кәмелетке толмағандар әдісі бойынша матрица дәрежесін есептеу, матрицаның элементі, бастауыш түрлендірулер әдісі бойынша) келесі тақырыптарда қарастырылады.

Айтпақшы, №1 және №2 мысалдарда жасалған ең кішкентай тапсырыс кәмелетке толмағандарымен қатар табу процедурасын бастаудың қажеті жоқ. Сіз дереу жоғары деңгейдегі шахтерлерге бара аласыз (№3 нөмірді қараңыз).

№1 мысал

Rank Matrix $ A = \ сол жақта (\ Бастау {ARRAGE} {CCCCC}) табыңыз

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ Соңы {массив} \ дұрыс) $.

Шешім

Бұл матрицаның өлшемі $ 3 \ $ 5, $ 5, I.e. Құрамында үш жол және бес баған бар. 3 және 5 сандардан, ең аз дегенде, 3, сондықтан $ A $ матрица дәрежесі 3-тен үлкен емес, I.E. $ \ Rang A≤ $ 3. Төртінші ретті кәмелетке толмағандардан бері біз бұдан былай, біз үшін құра алмайтындықтан, біз үшін тек 4 жол қажет, ал бізде бар болғаны 3. Мен тек осы матрицаның дәрежесін табуға дайынмын.

Бірінші ретті кәмелетке толмағандар қатарында (ол, ол, ол, $ A $) арасында нөлдер жоқ. Мысалы, 5, -3, 2, 7. Жалпы, бізді нөлдік емес элементтердің жалпы санына қызықтырмайды. Кем дегенде бір нөлдік зат жоқ - және бұл жеткілікті. Бірінші ретті кәмелетке толмағандар қатарынан, одан кем адам нөлден басқа, біз $ \ Rang $ 1 және екінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеруге барамыз деген қорытындыға келеміз.

Екінші ретті кәмелетке толмағандарды тергеуді бастайық. Мысалы, №1, № 2, № 2 және №1 бағандар (№ 2 және №4 бағандар »және« № 4 »бағандарының қиылысында, мұндай кәмелетке толмаған элементтер: $ \ LELD | \ Бастапқы {ARRASE} {cc}

елу \\

7 & 0 \ Соңы {ARRAME} \ дұрыс | $. Бұл анықтаушы кезде екінші бағанның барлық элементтері нөлге тең, сондықтан детерминттердің өзі нөлге тең, яғни I.E. $ \ LELD | \ Бастау {ARRAME} {cc}

елу \\

7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: $$.

\ сол жақта | \ бастау {Array} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ 10 {Массив} \ Оң жж. = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$.

Екінші ретті алғашқы кәмелетке толмағандар нөлге тең болды. Бұл не дейді? Екінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеруді не қажет етеді. Олардың бәрі нөлге тең болады (содан кейін дәреже 1-ге тең болады) немесе олардың ішінде кем дегенде бір кәмелетке толмаған болады, олар нөлден өзгеше болады. Екінші ретті кәмелетке толмаған кәмелетке толмаған балам жазу арқылы сәтті таңдау жасауға тырысайық, олардың элементтері №1, № 2, № 2 және № 5 және № 5 бағандар қиылысында орналасқан. \ Басталуы {массив} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ Соңы {ARRAME} \ дұрыс | $. Екінші ретті осы шахтердің мағынасын табыңыз:

$$.

\ сол жақта | \ бастау {Array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ Соңы {ARRAME} \ дұрыс | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

$$.

Бұл шамалы нөлге тең емес. Қорытынды: Екінші ретті кәмелетке толмағандар арасында нөлден басқа кемінде бір нәрсе бар. Нәтижесінде $ \ Rang $ 2 болды. Үшінші ретті кәмелетке толмағандарды зерттеуге көшу керек.

Егер біз үшінші ретті кәмелетке толмағандарды құру үшін 2-баған немесе №4 бағанды ​​таңдайтын болсақ, онда мұндай кеншілер нөлге тең болады (өйткені оларда нөлдік баған болады). Ол үшінші ретті тек үшінші ретті, элементтері №1, № 3, № 5 және №1 бағандар қиылысында, № 2, № 2, № 3. Біз бұл кәмелетке толмаған және оның құнын табамыз:

$$.

7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: \ сол жақта | \ бастау {Arand} {CCC}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ Соңы \ Соңы {массив} \ дұрыс | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: Сондықтан үшінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең. Біз нулероның кәмелетке толмағандарымен жазған соңғымыз екінші тапсырыс болды. Қорытынды: Кілестердің максималды тәртібі, олардың ішінде нөлден басқа біреуі бар, олар 2-ге тең, сондықтан $ \ Rang a = $ 2.

Жауап беру

: $ \ Rang a = $ 2.

№2 мысал.

Rank Matrix $ a = \ сол жақ (\ бастау {\ bute {Arand} {CCCC} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 &-0 &-0 \\ и 9 & 7 және 8 & 8 & -7 \ Соңы {Arium} \ оң жақ) $. Бізде төртінші ретті квадрат матрица бар. Дереу осы матрицаның дәрежесі 4-тен аспайтынын айтарлықтай назар аударыңыз. $ \ Rang A≤ $ 4. Біз матрицаның бағасын табуға кірісеміз. Бірінші ретті кәмелетке толмағандардың арасында (яғни, Matrix $ A $) арасында кем дегенде біреуі бар, ол нөлге тең емес, сондықтан $ \ Rang $ 1. Екінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеруге барыңыз. Мысалы, № 2, № 3 және №2 және №2 бағандар қиылысында біз осындай екінші ретті кәмелетке толмағанға дейін аламыз: $ \ lin | \ басталу {ARRAME} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ соңы ELST {ARRAME} \ DISE | $. Мен оны есептеймін:

$$.

\ сол жақ | \ басталу {ARRAME} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 & 0 \ ed {массив} \ оң жақта = 0-10 = -10. :

$$. Екінші ретті кәмелетке толмағандардың арасында кем дегенде біреуі бар, нөлге тең емес, сондықтан $ \ Rang $ 2. Үшінші тапсырыс шахтерлеріне жүгінейік. Мысалы, кәмелетке толмағандар, мысалы, №1, № 3, № 4 және №1 бағандар (№ 2) және № 2 және № 4 бағандар қиылысында орналасқанын табамыз.

$$.  \ сол жақ | \ Бастау {ARRAME} {CCCC} .

-1 & 3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ Соңы {ARRAME} \ оң жақтар = 105-105 = 0. $$. Үшінші тапсырыс шамасы нөлге тең болғандықтан, сіз үшінші ретті басқа кәстрөлді зерттеуіңіз керек. Олардың барлығы нөлге тең болады (содан кейін дәреже 2-ге тең болады) немесе кем дегенде біреуі бар, олардың арасында нөлге тең емес (содан кейін төртінші ретті кәмелетке толмағандарды зерттеу). Үшінші ретті, олардың элементтері №2, № 3, № 3, № 4 және № 2 және №3 бағандар қиылысында орналасқан. $$. \ сол жақ | \ Басталу {ARRAME} {CCC} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ Соңы {ARRAME} \ дұрыс | = -28. $$. Үшінші ретті кәмелетке толмағандардың арасында нөлден басқа, одан кем адам, сондықтан $ \ Rang $ 3. Төртінші ретті кәмелетке толмағандарды тексеру үшін барыңыз. Төртінші ретті кез-келген кәмелетке толмаған кез-келген кәмелетке толмаған, $ төрт $ матрицаның төрт сызығының қиылысында орналасқан. Басқаша айтқанда, төртінші ретті кәмелетке толмаған жердегі кәмелетке толмаған жер - $ A $ сәйкестендіргіш, өйткені бұл матрицадан 4 жол және 4 баған бар. Осы матрицаның детерминанты «Тақырыптың» № 2 мысалында есептелді «Анықтауын анықтау ордені. Детерминант. Детерминанттың (бағандағы (бағандағы) ыдырауы», сондықтан біз жай нәтиже аламыз:

$$. \ сол жақ | \ Бастау {ARRAME} {CCCC} -1 & 3 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 &-0 &-0 \\

9 & 7 & 8 & 8 & -7 \ Соңы {ARRAME} \ DISE | = 86.

$$. Сонымен, төртінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең емес. Бесінші ретті кәмелетке толмағандар біз енді пайда бола алмаймыз. Қорытынды: Кілесілердің ең көп тәртібі, олардың ішінде кем дегенде біреуі нөлден басқа, 4. нәтиже: нәтиже: $ \ Rang A = $ 4. : $ \ Rang A = $ 4. №3 мысал. Rank Matrix $ a = \ сол жақ (\ бастау {\ bute {Arand} {CCCC} -1 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$. 7 & -4 &-0 & -5 \ Соңы {массив} \ оң) $. Дереу Ескертіп, бұл матрицаның құрамында 3 жол және 4 баған бар, сондықтан $ \ Rang $ 3. Алдыңғы мысалдарда біз кәмелетке толмағандардың кәмелетке толмағандарының кішігірім (бірінші) бұйрығының орнын толтыру процесін бастадық. Міне, біз мүмкін болатын ең жақсы тапсырыс бойынша дереу тексеруге тырысамыз. $ $ Matrix үшін үшінші ретті кәмелетке толмағандар үшін. Үшінші ретті, олардың элементтері №1, № 2, № 2, № 3 және № 2 бағандар қиылысында орналасқан, № 2, № 4, № 4. $$. \ сол жақ | \ Басталу {ARRAME} {CCC}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ Соңы {ARRAME} \ DISE | = -8-60-20 = -88. $$. Сонымен, олардың ішінде кем дегенде біреуі нөлге тең емес қаражаттың ең жоғары тәртібі, 3, сондықтан матрицаның бағасы 3, I.e. $ \ Rang a = $ 3. : $ \ Rang A = $ 3. Жалпы, матрица дәрежесін анықтау бойынша анықтама - жалпы жағдайда, тапсырма көп уақытты қажет етеді. Мысалы, салыстырмалы түрде аз мөлшерде $ 5 \ $ 4 $ 4 $ 4 $ 4-тен $ 60-та кәмелетке толмағандар бар. Егер олардың 59-ы нөлге тең болса, онда 60-шы кәмелетке толмағандар нулероны бола алады. Содан кейін сіз осы матрицаның 40 дана кәмелетке толмағандарын зерттеуіңіз керек. Әдетте олар шахтерлерді немесе баламалы түрлендіру әдісі сияқты аз көлемді тәсілдерді қолдануға тырысады. .

Матрица дәрежесін қалай табуға болады? Матрицаның бағасын білу сіздің дәрежеңізді арттырады =) Бүгінгі сабақта біз дәреже тұжырымдамасымен танысамыз Алгебралық матрица Матрица дәрежесін қалай табуға болатындығын біліңіз Қаражатты қаражат салу әдісі Гаусс

, сонымен қатар маңызды практикалық қолдану тақырыбын қарастырыңыз: Үйлесімділік үшін сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу Матрицаның атағы қандай?

Мақаланың әзіл-оспақ эпиграфы шындықтың үлкен үлесі бар. «RANGE» сөзі, әдетте, кейбір иерархиямен, көбінесе қызмет баспалдасымен байланысты. Адамның білімі, тәжірибесі, қабілеттері, білік, бөрене және т.б. - оның позициясы және мүмкіндіктері жоғары. Мені жастар білдірген, дәреже бойынша «орнықтылық» жалпы дәрежесін білдіреді. Біздің математикалық ағаларымыз бірдей қағидаттарға сәйкес өмір сүреді. Мен серуендеу үшін біршама еркелетемін Нөлдік матрицалар Егер матрицада ойланыңыз Кейбір нөлдер

Біз қандай дәреже туралы айтуға болады? Барлығы «толық нөл» бейресми сөзімен таныс. Қоғамда матрицалар бірдей:

Нөлдік матрица дәрежесі Кез-келген мөлшері нөлге тең Ескерту .

-1 & 3 \\ : Нөлдік матрицаны грек «Тета» әрпімен көрсетеді

Матрица дәрежесін жақсы түсіну үшін, содан кейін мен оларды құтқару үшін материалдарды тартамын :

Аналитикалық геометрия

. Нөлді ескеріңіз Матрицаның бағасын білу сіздің дәрежеңізді арттырады =) вектор біздің үш өлшемді кеңістігіміз белгілі бір бағытты көрсетпейтін және салу пайдасыз Аффин негізі

. Алгебралық тұрғыдан осы вектордың координаттары жазылады Матрикс «Бір-үш» және қисынды (көрсетілген геометриялық мағынада) Бұл матрицаның дәрежесі нөлге тең болуы керек. Енді бірнеше қарашы

Ненулевой Бағандар векторлары Векторлар жолы

Әр жағдайда кем дегенде бір нөлдік емес элемент бар, және бұл бір нәрсе!

Матрица дәрежесін қалай табуға болады? Матрицаның бағасын білу сіздің дәрежеңізді арттырады =) вектор Кез келген нөлдік емес векторлық жол (баған векторы) дәрежесі біріне тең Және жалпы - Егер матрицада болса Ерікті өлшемдер

Кем дегенде бір нөлдер жоқ, содан кейін оның дәрежесі бар кем емес қондырғылан .

Алгебралық векторлық векторлық жолдар мен бағандар векторлары дерексіз реферат болып табылады, сондықтан біз геометриялық ассоциацияға қайта ораламыз. Ненулева

Кеңістіктегі толығымен анықталған бағытты анықтайды және құрылыс үшін жарамды. : Бақылау , сондықтан матрица атағы Біз тең бөлімді қарастырамыз. Теориялық сертификат

: Сызықтық алгебрада вектор векторы - векторлық кеңістіктің элементі (8 аксиома арқылы анықталады), олардың ішінде тапсырыс берілген жол болуы мүмкін (немесе баған) жарамды сандар Олар үшін нақты операциялармен және жарамды санға көбейту

. Мақалада векторлар туралы қосымша ақпаратты табуға болады. Сызықтық түрлендірулер Матрицаны қарастырайық Кімнің сызықтары .

сызықтық тәуелді

(бір-бірімен білдірілген). Геометриялық тұрғыдан алынған вектордың координаттары екінші қатарда жазылады. Кім бұл істі ғимаратта алға жылжытпады Үш өлшемді негіз Осы мағынада артық болу. Осылайша, осы матрицаның атағы да біріне тең. Бағандардағы векторлардың координаттарын қайта жазамыз (

Матрицаны беру :: Дәреже тұрғысынан не өзгерді? Ештеңе жоқ. Бағандар пропорционалды, бұл дәреже біріне тең екенін білдіреді. Айтпақшы, барлық үш жол пропорционалды екенін ескеріңіз. Оларды координаттармен анықтауға болады Үш қайсысының соққысы тек қана біреу Бұл «пәтер» базасын салу үшін пайдалы. Бұл біздің геометриялық дәрежеге толықтай сәйкес келеді. Жоғарыда келтірілген мысал маңызды мәлімдемені ұстанады: Жолдардағы матрица дәрежесі бағандар бағаларына тең .

. Мен осы сабақта тиімді деп айттым

Детеринант есептеу әдістері : Жиақтардың сызықтық тәуелділігі бағандардың сызықтық тәуелділігіне сәйкес келеді (және керісінше). Бірақ уақытты үнемдеу үшін және әдеттен арылу үшін мен әрқашан сызықтардың сызықтық тәуелділігі туралы сөйлесемін. Біздің сүйікті үй жануарларын жаттықтыруды жалғастырыңыз. Басқа коллекторлық вектордың үшінші жол координатасының матрицасына қосыңыз Ол үш өлшемді негіз салуға көмектесті ме? Әрине жоқ. Барлық үш вектор сол жерде және міне, бір жолда және матрица дәрежесі біріне тең. Сіз қанша салбырап жатқан векторларды, 100-ді өздерінің координаттарын «бір адамға» қойып, осындай тіреуіштердің дәрежесіне қойып отыра аласыз және мұндай тіректердің атағы әлі де жалғыз қалады. Матрицамен танысыңыз Сызықтық тәуелсіз . Жұп емес векторлар

Үш өлшемді негізді құруға жарамды. Осы матрицаның атауы - екі. Және матрицаның дәрежесі қандай ? Жолдар пропорционалды емес сияқты ..., бұл, бұл, үшеуі де. Алайда, бұл матрицаның атағы екіге тең. Мен алғашқы екі жолды жинадым және төмендегі нәтижені жаздым, яғни Сызықты түрде білдірді Алғашқы екі жол арқылы үшінші жол. Геометриялық матрицалық жолдар үш координатқа сәйкес келеді Керделдегі векторлар .

Осы үш есе жұмыс істегенде жұмыс жасайтын желілер жоқ.

Өзіңіз көріп тұрғаныңыздай

Сызықтық тәуелділік Қарастырылған матрицада айқын емес, ал бүгін біз оны «таза суға» алып тастауды үйренеміз.

Менің ойымша, көптеген адамдар матрицаның дәрежесі деген болжам жасайды! . Векторлар Форма .

Аффин негізі , ал осы матрицаның атағы - үшеу. Өздеріңіз білетіндей, үш өлшемді, үш өлшемді кеңістіктің оныншы, оныншы векторы негізгі векторлар арқылы сызықты түрде көрінеді. Сондықтан, егер матрицада болса Жолдардың кез-келген санын, содан кейін оның дәрежесін қосыңыз ол әлі үшеуі болады

Осындай дәлелдерді үлкен мөлшерде ерікті матрицалар үшін жүргізуге болады (анық, геометриялық мағынасыз). Анықтама Матрица дәрежесі - бұл сызықты тәуелсіз желілердің ең көп саны .

. Немесе: Матрица дәрежесі - сызықты тәуелсіз бағандардың максималды саны .

. Иә, олардың саны әрқашан сәйкес келеді.

Жоғарыда айтылғандардан, маңызды практикалық бағдар - бұл да:

Матрица дәрежесі оның ең төменгі өлшемінен аспайды

. Мысалы, матрицада

Төрт сызық және бес баған. Минималды өлшем төрт, сондықтан осы матрицаның дәрежесі 4-тен аспайды.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Белгілер

: Дүниежүзілік теория мен практикада матрицаның бағасын белгілеу үшін жалпы қабылданған стандарт жоқ, көбінесе сіз кездесуге болады:

- Олар айтқандай, ағылшындар бір, неміс тілін жазады. Сондықтан, американдық және ресейлік тозақ туралы әйгілі анекдотта анайтының матрица дәрежесін тағайындайық. Мысалы: . Егер «аты аталмаған» матрица, Коим көп кездеседі, содан кейін сіз жай жаза аласыз .

Кілесілердің көмегімен матрица дәрежесін қалай табуға болады? O. сыныпта .

Анықтауын есептеу :

және тұру Кері матрица Біз «Үш үш» матрицадағы жолдар мен бағандарды экспериментациялау арқылы алған екінші ретті кәмелетке толмағандармен таныстық. Енді біз кәмелетке толмаған тұжырымдаманы кеңейтеміз және оған анықтама береміз ... Бұл жерде қатты күрсінбеңіз, мұнда суреттер =) Кәмел жоқ

, , .

тікбұтын

Матрицалар деп аталады

дистинант .

әр түрлі қиылыста тұрған сандардан тұрады , Жолдар және басқаша :

Матрицаның бағандары. Нөмір

Шақыру

Минриге тапсырыс беру  

Матрицаның өзі төртбұрышты болуға міндетті емес екенін ескеріңіз. Нақты мысалды қарастырайық:

2-ші ретті қалай алуға болады? Мысалы, екі еркін сызықты таңдау керек, мысалы,

2 және 4-ші және тұру , мысалы, екі еркін баған, мысалы, 3 және 5-ші , ал олардың қиылысындағы нөмірлер Екінші ретті кәмелетке толмаған түрде жазыңыз: . 2-ші ретті қанша кәмелетке толмаған? Көп. Аз ұлттардың санын есептеу үшін арнайы комбинаторлық формулалар бар, бірақ осы сабақ аясында бұл төмен ақпарат. .

Біз үшінші ретті кәмелетке толмаймыз. Біз үш еркін сызықты қарастырамыз, мысалы, 1, 3 және 4-ші

, мысалы, үш еркін баған, мысалы, 1, 2 және 4-ші және олардың қиылысынан «Жою» кәмелетке толмағаны 3-рет: 4-ші ретті кәмелетке толмағандарға келетін болсақ, таңдау әлдеқайда аз: 3-ші барлық 4 жолды және төрт еркін бағандарды, мысалы, барлық бағандарды, 3-ші бағандарды қоспағанда, барлық бағандарды пайдалану керек. )

Кәмелетке толмағандардың көмегімен сынып матрицасын табу алгоритмі Мысал ретінде, сол матрицаны алыңыз . Матрицаның нөлдік элементтері жоқ, содан кейін оның дәрежесі кем емес, ал, ол 4-тен аспайтыны анық, ал келесі әрекетті қалай әрекет ету керек?

Әрі қарай, 2-ші ретті кәмелетке толмағандарды есептеу және есептеу керек. Егер 2-ші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, матрицалық дәреже біріне тең. Бірақ бұл өте мүмкін, ерте ме, кеш пе (көбінесе ерте), Ненулул ақылы кездеседі , және бұл факт матрица дәрежесін білдіреді .

Екіден кем емес Келесі қадамда біз үш ретті кәмелетке толмағандарды үнемі антропостандықпен ант етеміз және есептейміз. Егер барлық осы кеншілер нөл болса, онда . Егер мәселе қойылса

Сонымен, біз матрицаның атағы деп қорытындылады

Кем дегенде үш

Және келесі қадамға өтіңіз.

Төрт сызық және бес баған. Минималды өлшем төрт, сондықтан осы матрицаның дәрежесі 4-тен аспайды.

Бюст және 4-ші рет келерсіздер. Егер 4 ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, онда

Егер мен кәмелетке толмаған болсам Т. Осылайша, :

Матрицаның атауы нөлдік емес кәмелетке толмағандардың максималды тәртібіне тең «Маңдайдағы лобтың» схемасы жиі сынға түседі, бірақ таңқаларлық, көптеген жағдайларда жақсы нәтиже береді. Алайда, процестің ұзақтығы және есептеулер санын азайту мақсатында оларды атап өту керек: Кілестермен жүру әдісі .

Жалпы алгоритм, мен азайғаннан қорқамын деп қорқамын, оны белгілі бір тапсырма бойынша бөлшектеу оңайырақ:

1-мысал.

Кәмелетке толмағандар әдісімен матрицаның шүберекін табыңыз

: «Төрт төрт» Дана алаңдық матрицасы, әрине, оның атағы төрт емес. 9 & 7 және 8 & 8 & -7 \ Соңы {Arium} \ оң жақ) $. Біз ақы аламыз:

Матрицаның нөлдік элементтері жоқ, содан кейін оның дәрежесі бар

Кем емес бірліктер

2-ші ретті кәмелетке толмағандарды тексеру деп аталады

Кәмелетке толмаған бұрыш , сондықтан кәмелетке толмағанға барыңыз Сонымен, дәрежедегі матрица

Екіден кем емес . Егер бұл кәмелетке толмаған болса, не істеу керек еді? Бұл жағдайда біз кәмелетке толмағанымызды қарастырамыз

, егер ол нөл болса, біз одан әрі қарай жүреміз:

Қажет болса (жалғыз нөлдер болған кезде), кәмелетке толмағандардың ізденісі ұқсас схемамен жалғастыруы керек: 1 және 3-жолдар;

1-ші және 4-ші жолдар; 2 және 3-ші жолдар; 2-ші және 4-ші жолдар; 3-ші және 4-ші жолдар - кәмелетке толмағанға дейін, нөлден өзгеше. Егер 2-ші ретті кәмелетке толмағандар нөлге шалдыққан болса, онда Бірақ біздің жағдайда, екінші сатыда «жақсы» кәмелетке толмағандар табылды, енді біз үшінші ретті кәмелетке толмағандарды қарауға барамыз. Жас әріптесімен аяқтарды табыңыз

ол қарастырылған барлық ең жоғары тапсырыстарға қосылады «Үшінші қалайсыз ба?» Оны қызыл немесе жасыл жолдаспен шешуге болады: :

Бесінші баған болар еді - басқа дос табылатын еді.

Қызылдан бастайық:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Көмектеспеді. Енді ашкөздікті түсіну:

Нашар. Төмендегі аяқтарыңызды сезініп, «Ролл» және «Қоңыр» сандарда дәйекті алыңыз: Біріншіден, «таңқураймен» «көк»: Кем дегенде үш

. Егер бұл кәмелетке толмаған болса, нөлге тең болса, анықталған кезде анықтауыш «көк» және «қоңыр» сандардан есептеу керек еді. Ең кішісі, ең кішісі нөлдік емес кәмелетке толмаған баланың басқа кәмелетке толмағандары - емес

. Егер «көк-қоңыр» белгісі, содан кейін, содан кейін

3-ші ретті кәмелетке толмағандар іс жүзінде, және осы жағдайда қарастырылатын әдіс есептеулерді, максимум, төрт детерминантты азайтуға мүмкіндік береді. Біздің жетістігі 3-ші қадамды күтіп, және «жақсы» нөл нөлдік емес

Қатты аяқ киім:

Қазір «көк» және «таңқурай» бағандары

Ең жоғары тапсырыстардың барлық кәмелетке толмағандарына кіруі керек

7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: :

. Бұл жағдайда, бұл матрицаның анықтауышына сәйкес келетін 4-ші ретті жалғыз кәмелетке толмаған:

(Өйткені 2-ші және 3-ші жолдар пропорционалды болғандықтан)

Детерминанттың қасиеттері

Егер В. Немере Біз матрицада болдық бесінші баған болса, 4-ші ретті тағы бір кәмелетке толмаған («көк», «таңқурай» + 5-баған).

Өнім шығару

: Нөлдік емес Минроулдың максималды тәртібі үш, бұл дегеніміз

Бәрі де аяқталмаған шығар: 4-ші ретті кәмелетке толмағандар да нөлге тең, бірақ 3-ші тапсырыстың кәмелетке толмағандарының арасында нөлдер жоқ - сондықтан максималды тапсырыс

нөлден тыс

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Кішігірім және үшке тең.

Сұрақ туындайды және неге детерминантты дереу есептемесек? Алдымен, ең алдымен, матрица квадрат емес, екіншіден, егер сіз нөлдік емес мән болса да, бұл өте жоғары ықтималдылықпен жұмыс істейді, өйткені ол әдеттегі «Төменгі жоғары» шешімді білдіреді. Қарастырылған мысалда, 4-ші ретті нөлдік детерминант пен толығымен матрицаның шүберекі төрт-ден аз екенін көрсетеді.

Мен кәмелетке толмағандардың әдісін түсіндіру үшін өзіммен ойладым, мен өзіммен ойладым. Нақты тәжірибеде бәрі оңай:

2-мысал.

Сабақтың соңында шешім және жауап.

Алгоритм қашан тез жұмыс істейді? Сол «төрт төрт» матрицаға оралайық

. «Жақсы» жағдайда шешім ең қысқа болатыны анық

Кілесілер бұрышы

7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: :

Және егер

Т.

, әйтпесе -

Рефлексия гипотетикалық тұрғыдан емес - көптеген мысалдар бар, олар барлығы шектеулі, олар тек бұрыштық шахтерлермен шектеледі.

Алайда, кейбір жағдайларда тағы бір әдіс тиімді:

Гаусс әдісін қолдана отырып, матрица дәрежесін қалай табуға болады?

Параграфта бұрыннан таныс оқырмандарға арналған Және оған аздап қол. Техникалық тұрғыдан алғанда, әдіс жаңалықпен ерекшеленбейді: 1) бастауыш түрлендірулер көмегімен біз матрицаны қадам түріне береміз; 2) матрицаның шүберекі жолдар санына тең.

Бұл анық Гаусс әдісін қолдану матрицаның бағасын өзгертпейді және осында мұнда өте қарапайым: Алгоритмге сәйкес, элементар түрлендірулер кезінде, барлық қосымша пропорционалды (сызықты тәуелді) сызықтар анықталып, алынып тасталады, нәтижесінде «құрғақ қалдық» қалады - сызықты тәуелсіз желілер. Біз ескі таныс матрицаны үш коллекциялық векторлардың координаталарымен қайта құрамыз: (1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды қосты.

(2) Нөлдік жолдар алып тастаңыз. Осылайша, бір жол қалды, сондықтан  – . Не айту керек 2-ші ретті тоғыз ретті тоғыз кәмелетке толмағандарды есептеуден әлдеқайда жылдам және содан кейін ғана қорытынды жасаңыз. Мен сізге мұны өзім еске түсіремін Алгебралық матрица Кез-келген нәрсені өзгерту мүмкін емес, ал түрлендірулер тек дәрежені нақтылау үшін орындалады! Айтпақшы, сұрақ бойынша қайтадан тоқтайық, неге жоқ? Бастапқы матрица  – Матрицалық ақпараттан түбегейлі өзгеше ақпарат береді және жолдар

. Кейбір математикалық модельдерде (асырғышсыз), бір санның айырмашылығы өмір мен өлім туралы болуы мүмкін. ... Мен бастауыш және орта сыныптағы математика мұғалімдері есіме түсірдім, ол 1-2 ұпай үшін 1-2 ұпайға, алгоритмден ауытқуды аяусыз кесіп тастады. Мұның орнына, ол қатты қорлады, оның орнына «бес», «жақсы» немесе одан да жаман болып көрінді. Түсіну біршама кейін болды - және адам спутниктеріне, ядролық оқтаңалықтар мен электр станцияларын қалай қорғауға? Бірақ сіз алаңдамайсыз, мен бұл жерлерде жұмыс істемеймін =)

Толығырақ ақпаратқа жүгінейік, онда басқа заттармен қатар, біз маңызды есептеу техникасымен танысамыз.

Гаусс әдісі

3-мысал.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Матрица дәрежесін бастауыш түрлендірулерді пайдаланып табыңыз : Dana Matrix «Төрт бес», яғни оның атағы 4-тен аспайтындығын білдіреді. Бірінші бағанда 1 немесе -1 жоқ, сондықтан кем дегенде бір бірлік алу үшін қосымша қадамдар қажет. Сайттың барлық уақытында мен бірнеше рет сұрақ қойдым: «Бастапқы түрлендірулер кезіндегі бағандарды қайта құруға бола ма?». Мұнда - бірінші екінші бағанды ​​қайта құрды, бәрі жақсы! Пайдаланылған барлық тапсырмаларда Гаусс әдісі , Бағандар шынымен өзгерте алады. Бірақ қажет емес. Және айнымалылармен шатасып, егер айтарлықтай шатаспаса да, бұл жоғары математиканы даярлау барысында бұл акция дәстүрлі түрде қарастырылмайды, сондықтан оны жаңарған кезде, ол өте қисайған болады (содан кейін ол болады) бәрін мәжбүрледі).

Екінші нүкте сандарға қатысты. Шешім барысында келесі эмпирикалық ережелерді басшылыққа алу пайдалы: Мүмкін болса, қарапайым түрлендірулерді матрицалық нөмірлермен азайтуға болады. :

. Бірлік-екі-үш-үштен кейін, мысалы, 23, 45 және 97-ге қарағанда әлдеқайда оңай жұмыс істеу оңайырақ және бірінші әрекет бірінші бағанға ғана емес, сонымен қатар 7 және 11 сандарды жоюға. Алдымен толық шешім, содан кейін түсініктемелер: .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. (2) Соңғы үш жол пропорционалды. 3-ші және 4-ші жолдарды алып тастады, екінші жол бірінші орынға өтті. (3) Екінші жол - бірінші жолды -3-ке көбейтіңіз.  Сахнаға берілген екі жолдағы матрицада. Ескерту )

Енді сіздің кезегіңіз - төрт-төрт матрицаны азабату үшін: .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. 4-мысал. Гаусс бойынша Rang матрицасын табыңыз  Мен мұны еске түсіремін

. Немесе: .

Әрі қарай, 2-ші ретті кәмелетке толмағандарды есептеу және есептеу керек. Егер 2-ші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, матрицалық дәреже біріне тең. Бірақ бұл өте мүмкін, ерте ме, кеш пе (көбінесе ерте), Ненулул ақылы кездеседі : Гаусс әдісі Бірбұрышты қаттылықты ескермейді, және сіздің шешіміңіз менің шешімімнен өзгеше болуы мүмкін. Сабақтың соңында қысқаша үлгі тапсырмасы.

Матрицаның бағасын табу үшін қандай әдіс қолданылуы керек? «Үшінші қалайсыз ба?» Оны қызыл немесе жасыл жолдаспен шешуге болады: Іс жүзінде, ол көбінесе дәрежені табу үшін қолданылатын барлық әдісті қолданған жөн. Мұндай жағдайда жағдайды талдау керек - кейбір матрицалар үшін, кәмелетке толмағандар арқылы шешім қабылдаудың ұтымды болуы, ал басқалары қарапайым трансформацияларды қолдану едәуір тиімді: 5-мысал. Дәреже матрицасын табыңыз : Бірінші жол қандай да бір рет жоғалып кетеді =) Жоғарыда айтылғандай, мен матрицаның бағандарын ұстамауға кеңес бердім, бірақ егер нөлдік баған немесе пропорционалды / сәйкес келетін бағандар болса, онда ампутацияны жүргізудің қажеті жоқ:

(1) Бесінші нөлдік баған, оны матрицадан алыңыз. Осылайша, матрицаның атағы төрт емес. Бірінші жол - 1-ге көбейтілді. Бұл тағы бір брендтік Гаусс әдісі, ол келесі әсерді жағымды серуендеуге айналдырады: (2) Екіншісінен басталатын барлық жолдарға, бірінші жолды қосты. :

(3) Бірінші жол -1-ге көбейтілді -1, үшінші жол 2-ге бөлінді, төртінші жол 3-ке бөлінді. 3-ке бөлінді. Алдымен толық шешім, содан кейін түсініктемелер: .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. (2) Соңғы үш жол пропорционалды. 3-ші және 4-ші жолдарды алып тастады, екінші жол бірінші орынға өтті. (4) Бесінші жолға дейін -2-ге көбейтілген үшінші жол қосылды. (5) Соңғы екі жол бесіншіге дейін пропорционалды.

Нәтижесінде 4 жол алынды. Өздік жұмыс үшін бес әңгіме: .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. 4-мысал. 6-мысал.   Дәреже матрицасын табыңыз

. Немесе: .

Әрі қарай, 2-ші ретті кәмелетке толмағандарды есептеу және есептеу керек. Егер 2-ші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, матрицалық дәреже біріне тең. Бірақ бұл өте мүмкін, ерте ме, кеш пе (көбінесе ерте), Ненулул ақылы кездеседі : Сабақтың соңында қысқаша шешім және жауап.

Айта кету керек, «Матрица дәрежесі» деген тіркес практикада жиі кездеспейді және сіз онсыз жасай алатын көптеген тапсырмаларда. Бірақ қарастырылатын тұжырымдама негізгі тұлға болып табылатын бір міндет бар, және мақаланың соңында біз осы практикалық қолданбаны қарастырамыз:

Бірліктер үшін сызықтық теңдеулер жүйесін қалай зерттеу керек?

Жиі, шешімге қосымша Алдымен толық шешім, содан кейін түсініктемелер: .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. (2) Соңғы үш жол пропорционалды. 3-ші және 4-ші жолдарды алып тастады, екінші жол бірінші орынға өтті. (4) Бесінші жолға дейін -2-ге көбейтілген үшінші жол қосылды. Сызықтық теңдеулер жүйелері .

(1) Екінші жол - бірінші жолды -2-ге көбейтіңіз. Үшінші жолға бірінші жолды көбейтіңіз - 3-ге көбейтіңіз. Және үйіндіге: 1-ші жол 4-ші жолға қосылды -1-ге қосылды. 4-мысал. Шарт бойынша, ол бірлікке алдын-ала тергеу, яғни, бұл кез-келген шешім бар екенін дәлелдеу. Мұндай тексерудің негізгі рөлі (5) Соңғы екі жол бесіншіге дейін пропорционалды.

Caperera Capera теоремасы Мен қажетті формада тұжырымдаймын:

Әрі қарай, 2-ші ретті кәмелетке толмағандарды есептеу және есептеу керек. Егер 2-ші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болса, матрицалық дәреже біріне тең. Бірақ бұл өте мүмкін, ерте ме, кеш пе (көбінесе ерте), Ненулул ақылы кездеседі : Егер дәреже болса Жүйе матрицалары

Рангқа тең

Кеңейтілген жүйелік матрица

, содан кейін жүйе келісіліп, егер бұл сан белгісіз санға сәйкес келсе, онда шешім ерекше.

Осылайша, жүйені үйлесімділік жүйесін зерттеу үшін теңдікті тексеру керек

қайда

Жүйелік матрица 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (Сабақтан терминологияны есіңізде сақтаңыз Гаусс әдісі ), және Кеңейтілген жүйелік матрица (I.E. Матрица, айнымалы бар коэффициенттері бар, еркін мүшелер бағандары). 7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: :

Бәрі оңай: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ 7-мысал. Егер жүйе келісілген болса, біркелкі және оның шешімін табу үшін жүйені зерттеңіз Жүйелер толықтырылған кезде - екі есе ... Жоқ ... жоқ = Triple =) : Дегенмен, қатаң жоғарғы сызыққа назар аударыңыз - жағдай бойынша, бірінші кезекте , Бұл жүйені тексеру қажет. Шешімді қалай бастауға болады? Бәрібір 7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: :

Біз кеңейтілген жүйелік матрицаны және қарапайым түрлендірулер көмегімен біз оны қадам түріне жеткіземіз: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ а) мақаланың №1 мысалы Белгісізді алып тастау әдісі Бастауыш түрлендірулер матрицалар дәрежесін өзгертпейді, сондықтан жүйенің балама көзі матрицасы іс-әрекеттер нәтижесінде алынған 7 \ Соңы {ARRAME} \ DIGNAL | = 0 $ (Детерминанттардың қасиеттерінің тақырыбындағы №3 мүлікті қараңыз). Немесе бұл анықтаушыны екінші және үшінші ретті детерминанттарды есептеу бөлімінен №1 формуланы қолданып есептеуге болады: :

және кеңейтілген жүйе матрицасы

 Кеңейтілген жүйелік матрица

Нөлдік емес кәмелетке толмағандардың максималды тәртібі

Жүйе матрицалары

үшке тең. Мұнда, бір данада және сәйкес келсе, бұл матрицаның өзі анықталғаны анық:

(Сабақты қараңыз)

Добавить комментарий