Berekening van het cijfer van de matrix per definitie.

Definitie van de graad van de matrix. Berekening van het cijfer van de matrix per definitie.

Om met het concept van Rank Matrix te werken, hebben we informatie nodig van het onderwerp "Algebraïsche add-ons en minderjarigen. Typen minderheden en algebraic toevoegingen." Allereerst betreft dit de term "kleine matrix", omdat de rang van de matrix wordt bepaald door de minderjarigen.

Rang matrix Bel de maximale volgorde van zijn minderjarige, waaronder een ten minste één, niet gelijk aan nul.

Equivalente matrices - matrixen waarvan de rangen onder elkaar zijn.

Laten we meer uitleggen. Stel dat er onder de minderjarigen van de tweede orde zijn, er zijn ten minste één anders dan nul. En alle minderjarigen, waarvan de volgorde boven twee is, zijn nul. Conclusie: de rang van de matrix is ​​2. of bijvoorbeeld onder de minderjarigen van de tiende volgorde is er ten minste één, niet gelijk aan nul. En alle minderjarigen, waarvan de volgorde hoger dan 10 nul is. Conclusie: de ring van de matrix is ​​10.

Het cijfer van de Matrix $ A $ is aangegeven: $ \ Rang a $ of $ r (a) $. Rang nul matrix $ o $ wordt beschouwd als nul, $ \ rang o = 0 $. Laat me je eraan herinneren dat voor de vorming van de minderjarige de matrix nodig is om de strings en kolommen te twalen - maar om de rijen en kolommen meer te verwijderen dan de matrix zelf bevat, is het onmogelijk. Als de $ F $ MATRIX bijvoorbeeld een maat heeft van $ 5 \ \ Times $ 4 (d.w.z. bevat 5 regels en 4 kolommen), dan is de maximale volgorde van zijn minderjarige gelijk aan vier. Minderjarigen van de vijfde orde zullen niet slagen, omdat ze 5 kolommen nodig hebben (en we hebben slechts 4). Dit betekent dat de rang van de $ F $ Matrix niet meer dan vier kan zijn, d.w.z. $ \ RANG F≤4 $.

In een meer algemene vorm betekent het voorgaande dat als de matrix $ M $ rijen en $ N-$-kolommen bevat, dan kan de rang de kleinste van $ M $ en $ N $ niet overschrijden. $ \ RANG A≤ \ MIN (M, N) $.

In principe wordt de methode om het te vinden gevolgd door de definitie van rang. Het proces van het vinden van de rang van de matrix per definitie kan schematisch worden ingediend:

Bijgevolg,

Ik zal dit schema in meer detail uitleggen. Laten we vanaf het allereerste begin beginnen te praten, d.w.z. Van de minderjarigen van de eerste orde van sommige matrix $ A $.

  1. Als alle minderjarigen van de eerste bestelling (dat wil zeggen, zijn de elementen van de matrix $ A $) nul, dan $ \ Rang a = 0 $. Indien onder de minderjarigen van de eerste bestelling zijn er ten minste één, niet gelijk aan nul, dan had $ \ Rang A≥ $ 1. Ga naar het check van second orderminors.
  2. Als alle minderjarigen van de tweede bestelling nul zijn, dan $ \ Rang a = 1 $. Indien onder de minderjarigen van de tweede orde er ten minste één zijn, niet gelijk aan nul, dan belt u A≥ $ 2. Ga naar het controleren van minderjarigen van de derde orde.
  3. Als alle minderjarigen van de derde orde nul zijn, dan ring een = $ 2. Indien onder de minderjarigen van de derde orde er ten minste één zijn, niet gelijk aan nul, dan $ \ Rang A≥ $ 3. Ga naar het controleren van de minderjarigen van de vierde bestelling.
  4. Als alle vierde orde minderjarigen nul zijn, dan had $ \ Rang a = $ 3. Indien onder de minderjarigen van de vierde orde er zijn minstens één, niet gelijk aan nul, dan $ \ Rang A≥ $ 4. Ga naar het controleren van de minderjarigen van de vijfde bestelling enzovoort.

Wat wacht op ons aan het einde van deze procedure? Het is mogelijk dat er onder de minderjarigen van de K-TH-bestelling er ten minste één anders dan nul zijn, en alle minderjarigen (K + 1) van de bestelling zullen nul zijn. Dit betekent dat K de maximale volgorde van minderheden is, waarvan er ten minste één is, niet gelijk aan nul, d.w.z. De rang is gelijk aan k. Er kan een andere situatie zijn: onder de minderjarigen van de K-TH-volgorde zijn er ten minste één niet gelijk aan nul, en de minderjarige (K + 1) is niet langer mogelijk om een ​​procedure te vormen. In dit geval is de vod van de matrix ook gelijk aan k. In het kort, De volgorde van de laatste samengesteld uit niet-nul minor en zal gelijk zijn aan de marge van de matrix .

Laten we ons wenden tot de voorbeelden waarin het proces van het vinden van de rang van de matrix per definitie zal worden geïllustreerd. We zullen nogmaals benadrukken dat we in de voorbeelden van dit onderwerp de rang van matrices zullen vinden met alleen de definitie van rang. Andere werkwijzen (berekening van de rang van de matrix door de methode van bruisende minor, de berekening van de graad van de matrix door de methode van elementaire transformaties) wordt in de volgende onderwerpen beschouwd.

Trouwens, het is niet nodig om de procedure te beginnen voor het vinden van een rang met minderjarigen van de kleinste orde, zoals gedaan in voorbeelden nr. 1 en nr. 2. U kunt onmiddellijk naar mijnwerkers van hogere bestellingen gaan (zie voorbeeld nummer 3).

Voorbeeld №1

Zoek de rang matrix $ A = \ links (\ begin {array} {ccccc}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ End {array} \ rechts) $.

Besluit

Deze matrix heeft een maat van $ 3 \ Times $ 5, d.w.z. Bevat drie lijnen en vijf kolommen. Van de cijfers 3 en 5 is het minimum 3, daarom is de rang van de matrix $ A $ niet groter dan 3, d.w.z. $ \ RANG A≤ $ 3. En deze ongelijkheid is voor de hand liggend, omdat de minderjarigen van de vierde orde, we niet langer kunnen vormen, - voor hen heb je 4 lijnen nodig, en we hebben alleen 3. Ik draai rechtstreeks naar het proces van het vinden van de rang van een gegeven matrix.

Onder de minderjarigen van de eerste bestelling (dat is, onder de elementen van de matrix $ A $) zijn er niet-nul. Bijvoorbeeld, 5, -3, 2, 7. In het algemeen zijn we niet geïnteresseerd in het totale aantal niet-nulelementen. Er zijn ten minste één niet gelijk nul item - en dit is genoeg. Sinds onder de minderjarigen van de eerste bestelling zijn er ten minste een ander dan nul, concluderen we dat $ \ Rang A≥ $ 1 en ga om de tweede-orde minderjarigen te controleren.

Laten we beginnen met het onderzoeken van de minderjarigen van de tweede orde. Bijvoorbeeld, op het kruispunt van lijnen nr. 1, nr. 2 en kolommen nr. 1, nr. 4 is elementen van zo'n minor: $ \ Left | \ start {array} {cc}

vijftig \\

7 & 0 \ END {array} \ Right | $. In deze determinant zijn alle elementen van de tweede kolom nul, daarom is de determinant zelf nul, d.w.z. $ \ Left | \ BEGIN {array} {cc}

vijftig \\

7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen:

\ Left | \ BEGIN {array} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ END {array} \ Right | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

De eerste minderjarige van de tweede orde bleek nul te zijn. Wat zegt het? Over wat nodig is om de minderjarigen van de tweede orde te controleren. Of ze zullen allemaal nul zijn (en dan zal de rang gelijk zijn aan 1), of onder hen zullen er ten minste één minderjarige zijn, anders dan nul. Laten we proberen een meer succesvolle keuze te maken door een tweede-orde minor te schrijven, waarvan de elementen zich bevinden op de kruising van snaren nr. 1, nr. 2 en kolommen No. 1 en No. 5: $ \ Left | \ Begin {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ END {array} \ Right | $. Zoek de betekenis van deze mijnwerker van de tweede bestelling:

\ Left | \ BEGIN {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ END {array} \ Right | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

Deze minderjarige is niet gelijk aan nul. Conclusie: Onder de minderjarigen van de tweede orde zijn er ten minste één anders dan nul. Daarom belde $ \ ≥ $ 2. Het is noodzakelijk om te verhuizen naar de studie van minderjarigen van de derde orde.

Als we een kolomnummer 2 of kolom nr. 4 kiezen om de minderjarigen van de derde orde te vormen, zullen dergelijke mijnwerkers nul zijn (want zij zullen een nulkolom bevatten). Het valt nog om slechts één minderjarige van de derde orde te controleren, waarvan de elementen zich bevinden op de kruising van kolommen Nr. 1, nr. 3, nr. 5 en lijnen Nr. 1, No. 2, No. 3. We schrijven deze minor en vinden zijn waarde:

7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: \ Left | \ BEGIN {array} {ccc}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ End {array} \ Right | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: Dus alle minderjarigen van de derde orde zijn nul. De laatste die we door de Nonzero Minor zijn gecomponeerd, was tweede orde. CONCLUSIE: Maximale volgorde van minderheden, waaronder dat er ten minste één anders dan nul is, is 2. daarom $ \ Rang a = $ 2.

Antwoord

: $ \ RANG A = $ 2.

Voorbeeld nummer 2.

Zoek de rang matrix $ A = \ links (\ begin {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 & 8 & -7 \ END {array} \ Right) $. We hebben een vierkante matrix van de vierde bestelling. Merk onmiddellijk op dat de rang van deze matrix niet hoger is dan 4, d.w.z. $ \ RANG A≤ $ 4. We zullen doorgaan met het vinden van het cijfer van de matrix. Onder de minderjarigen van de eerste orde (dat is, tussen de elementen van de matrix $ A $) zijn er ten minste één, niet gelijk aan nul, daarom $ \ Rang A≥ $ 1. Ga naar het check van second orderminors. Bijvoorbeeld, op het kruispunt van lijnen nr. 2, nr. 3 en kolommen Nr. 1 en nr. 2 ontvangen we een dergelijke tweede-orde Minor: $ \ Left | \ BEGIN {array} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ END {array} \ Right | $. Ik bereken het:

\ linker | \ BEGIN {array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {array} \ Right | = 0-10 = -10. :

Onder de minderjarigen van de tweede orde zijn er ten minste één, niet gelijk aan nul, daarom $ \ Rang A≥ $ 2. Laten we ons wenden tot de mijnwerkers van de derde bestel. We zullen bijvoorbeeld minderjarige vinden, waarvan de elementen zich bevinden op de kruising van lijnen nr. 1, nr. 3, nr. 4 en kolommen Nr. 1, nr. 2, nr. 4:

 \ linker | \ Begin {array} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ END {array} \ Right | = 105-105 = 0. Aangezien de derde orde minderjarige gelijk is aan nul, moet u een andere minderjarige van de derde bestelling verkennen. Ofwel alles wat ze gelijk zijn aan nul (dan is de rang gelijk aan 2), of er is ten minste één, niet gelijk aan nul onder hen (vervolgens om de minderjarigen van de vierde bestelling te verkennen). Overweeg de minderjarige van de derde orde, waarvan de elementen zich bevinden op het kruispunt van lijnen nr. 2, nr. 3, nr. 4 en kolommen Nr. 2, nr. 3, №4: \ linker | \ BEGIN {array} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ END {array} \ Right | = -28. Onder de minderjarigen van de derde orde zijn er ten minste één andere dan nul, daarom $ \ Rang A≥ $ 3. Ga naar het controleren van de minderjarigen van de vierde bestelling. Elke minderjarige van de vierde bestelling bevindt zich op de kruising van vier regels en vier kolommen van de $ A $ matrix. Met andere woorden, minderjarige van de vierde bestelling is de identificator van de matrix van $ A $, aangezien deze matrix slechts 4 regels en 4 kolommen bevat. De determinant van deze matrix werd berekend in voorbeeld 2 van het onderwerp "lager de volgorde van de determinant. Ontbinding van de determinant op een string (kolom)", dus wij nemen eenvoudigweg het voltooide resultaat:

\ linker | \ Begin {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 & 8 & -7 \ END {array} \ Right | = 86.

Dus, kleine van de vierde orde is niet gelijk aan nul. Minderjarigen van de vijfde orde die we niet langer kunnen vormen. Conclusie: de hoogste orde van minderjarigen, waarvan er ten minste één anders zijn dan nul, is 4. Resultaat: $ \ Rang a = $ 4. : $ \ RANG A = $ 4. Voorbeeld nummer 3. Zoek de rang matrix $ A = \ links (\ begin {array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ END {array} \ Right) $. Merk onmiddellijk op dat deze matrix 3 regels en 4 kolommen bevat, daarom $ \ Rang A≤ $ 3. In eerdere voorbeelden begonnen we het proces van het vinden van rang van overweging van minderjarigen van de kleinste (eerste) bestelling. Hier zullen we proberen de minderjarigen van de maximaal mogelijke volgorde onmiddellijk te controleren. Voor de $ A $ Matrix zijn de minors van de derde bestelling. Overweeg de minderjarige van de derde orde, waarvan de elementen liggen op de kruising van lijnen nr. 1, nr. 2, nr. 3 en kolommen Nr. 2, nr. 3, nr. 4: \ linker | \ BEGIN {array} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ END {array} \ Right | = -8-60-20 = -88. Dus, de hoogste orde van fondsen, waarvan er ten minste één is, niet gelijk aan nul, is 3. Daarom is de graad van de matrix 3, d.w.z. $ \ RANG A = $ 3. : $ \ RANG A = $ 3. Over het algemeen is het vinden van de rang van de matrix per definitie - in het algemene geval, de taak vrij tijdrovend. Bijvoorbeeld, de matrix van een relatief klein bedrag van $ 5 \ Times $ 4 $ heeft 60 tweede-orde minderjarigen. En als zelfs 59 van hen nul zal zijn, dan kan de 60e minderjarige niet nul zijn. Dan moet u de minderjarigen van de derde bestelling verkennen, welke deze matrix 40 stuks heeft. Meestal proberen ze minder omvangrijke manieren te gebruiken, zoals methode om mijnwerkers of gelijkwaardige transformatiemethode te focussen. .

Hoe vind je de rang van de matrix? Kennis van de graad van de matrix verhoogt uw rang =) In de les van vandaag zullen we kennis maken met het concept van rang Algebraïsche matrix , leer hoe je de rang van de matrix kunt vinden methode van saaie fondsen Door Gauss

, evenals een belangrijk praktisch applicatieonderwerp: Studie van een systeem van lineaire vergelijkingen voor compatibiliteit Wat is de rang van de matrix?

De humoristische epigraaf van het artikel bevat een groot deel van de waarheid. Het woord "Rank" zelf wordt meestal geassocieerd met wat hiërarchie, meestal, met een servicetrap. Hoe groter de menselijke kennis, ervaring, capaciteiten, blat blijven, enz. - Hoe hoger zijn positie en het bereik van mogelijkheden. Ik ben uitgedrukt door de jeugd, onder de rang impliceert de algemene mate van "steilheid". En onze wiskundige broers leven volgens dezelfde principes. Ik zal wat willekeurige voor een wandeling brengen Nulmatrices Denk aan of in de matrix Sommige nullen

Welke rang kunnen we over praten? Iedereen is bekend met de informele uitdrukking "full nul". In de samenleving zijn de matrices allemaal precies hetzelfde:

Rang nul matrix Elke maat is nul Notitie .

-1 & 3 & -3 \\ : De nulmatrix wordt aangegeven door de Griekse letter "Theta"

Om de rang van de matrix hier beter te begrijpen en dan zal ik materialen naar de redding aantrekken :

Analytische geometrie

​Overweeg nul Kennis van de graad van de matrix verhoogt uw rang =) vector Onze driedimensionale ruimte die geen enkele richting vermeldt en nutteloos is om te bouwen affijne basis

​Vanuit een algebraïsche standpunt worden de coördinaten van deze vector opgenomen in Matrix "Één tot drie" en logisch (in de opgegeven geometrische betekenis) Het is noodzakelijk dat de rang van deze matrix nul is. Overweeg nu een paar

Nenulevoy Kolomvectoren Vectoren string

In elk geval zijn er ten minste één niet-nulelement, en dit is al iets!

Hoe vind je de rang van de matrix? Kennis van de graad van de matrix verhoogt uw rang =) vector Rang van een niet-nul-vectorstring (kolomvector) is gelijk aan één En in het algemeen gesproken - Als in de matrix willekeurige maten

Er zijn ten minste één niet-nulelement, dan haar rang niet minder eenheden .

Algebraïsche vectorsnaren en kolomvectoren zijn abstract abstract, dus we zullen terugkeren naar de geometrische associatie. Nenuleva

Specificeert een volledig gedefinieerde richting in de ruimte en is geschikt voor de bouw. : Basis , dus de rang van de matrix We zullen een gelijke eenheid overwegen. Theoretisch certificaat

: In lineaire algebra is vector een element van vectorruimte (gedefinieerd door 8 axioma's), wat in het bijzonder een bestelde reeks kan zijn (of kolom) van geldige nummers met definitieve operaties voor hen en vermenigvuldiging op een geldig nummer

​Meer informatie over de vectoren is te vinden in het artikel. Lineaire transformaties Overweeg de matrix wiens regels zijn .

lineair afhankelijk

(uitgedrukt in elkaar). Vanuit een geometrisch oogpunt worden de coördinaten van de collineaire vector vastgelegd in de tweede tekenreeks. die de zaak in het gebouw niet bevordert Driedimensionale basis In die zin een overschot zijn. Aldus is de rang van deze matrix ook gelijk aan één. We herschrijven de coördinaten van de vectoren in de kolommen (

De matrix omzetten Wat is veranderd vanuit het oogpunt van Rank? Niets. De kolommen zijn evenredig, het betekent dat de rang gelijk is aan één. Houd er trouwens op dat alle drie de lijnen ook evenredig zijn. Ze kunnen worden geïdentificeerd met coördinaten Drie collineaire vliegtuigvectoren van waaruit maar een Het is handig voor het bouwen van een "platte" basis. En dit is volledig consistent met ons geometrische gevoel van rang. Het bovenstaande voorbeeld volgt een belangrijke verklaring: De rang van de matrix op de rijen is gelijk aan de cijfers van de kolommen .

​Ik heb deze kleine al genoemd op de les over effectief

Methoden voor het berekenen van de determinant : Van de lineaire afhankelijkheid van de snaren volgt de lineaire afhankelijkheid van kolommen (en vice versa). Maar om tijd te besparen, en vanwege de gewoonte, zal ik bijna altijd praten over de lineaire afhankelijkheid van de lijnen. Blijf onze favoriete huisdier trainen. Voeg toe aan de matrix van de derde regelcoördinaat van een andere collineaire vector Heeft hij geholpen bij het bouwen van een driedimensionale basis? Natuurlijk niet. Alle drie de vector lopen daar en hier op één nummer, en de rang van de matrix is ​​gelijk aan één. Je kunt hoevoren nemen, zeggen dan 100, hun coördinaten in de "honderd per een" matrix en de rang van een dergelijke wolkenkrabber blijven nog steeds een enkele. Maak kennis met de matrix lineair onafhankelijk ​Een paar nonollylline vectoren

Geschikt voor het bouwen van een driedimensionale basis. De rang van deze matrix is ​​twee. En wat is de rang van de matrix ​Rijen lijken niet evenredig ..., het betekent, in het idee van drie. De rang van deze matrix is ​​echter ook gelijk aan twee. Ik vouwde de eerste twee regels en noteerde het hieronder resultaat, dat is Lineair uitgedrukt Derde regel door de eerste twee. Geometrisch matrixstrings komen overeen met drie coördinaten Volledige vectoren .

Werken in deze triple is er een paar nonollylijncomades.

Zoals je kan zien

Lineaire verslaving In de beschouwde matrix is ​​niet vanzelfsprekend, en vandaag zullen we gewoon leren het "op schoon water" in te trekken.

Ik denk dat velen gissen wat de rang van de matrix is! ​Vectoren Het formulier .

Affijne basis , en de rang van deze matrix is ​​drie. Zoals je weet, zal elke vierde, vijfde, tiende vector van driedimensionale ruimte lineair worden uitgedrukt door basisvectoren. Daarom, als in de matrix Voeg een willekeurig aantal regels toe, dan zijn rang het zal nog steeds drie zijn

Soortgelijke argumenten kunnen worden uitgevoerd voor grote matrices (helder, zonder geometrische betekenis). Definitie De rang van de matrix is ​​het maximale aantal lineaire onafhankelijke lijnen .

​Of: De rang van de matrix is ​​het maximale aantal lineaire onafhankelijke kolommen .

​Ja, hun aantal valt altijd samen.

Van het voorgaande is een belangrijk praktisch oriëntatiepunt ook:

De rang van de matrix overschrijdt niet de minimale dimensie

​Bijvoorbeeld in de matrix

Vier lijnen en vijf kolommen. De minimale dimensie is daarom vier, daarom is de rang van deze matrix niet groter dan 4.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Aanduidingen

: In de wereldtheorie en de praktijk is er geen algemeen aanvaarde standaard voor de aanwijzing van de graad van de matrix, meestal kunt u elkaar ontmoeten:

- Zoals ze zeggen, schrijft de Engelsman één, de Duitser. Laten we daarom aan de beroemde anekdote gaan over de Amerikaanse en Russische hel om de rang van de matrix aan te wijzen door het oorspronkelijke woord. Bijvoorbeeld: ​En als de "Naamloze" Matrix, KOOIM veel ontmoet, kunt u gewoon opnemen .

Hoe vind je de rang van de matrix met behulp van minderheden? Op O. klasse .

Berekening van de determinant :

en blijven Omgekeerde matrix We hebben de minderjarigen van de tweede bestelling al ontmoet, verkregen door het experimenteren van de rijen en kolommen in de matrix "drie drie". Nu zullen we het concept van minderjarige uitbreiden en het een definitie geven ... zucht niet zo hard, hier met foto's =) Mineur

, , .

rechthoekig

De matrices worden genoemd

bepalend .

samengesteld uit cijfers die op de kruising van verschillende zijn , rijen en verschillend :

Kolommen van de matrix. Aantal

Aanroepen

Bestel minra  

Merk op dat de matrix zelf niet verplicht is om vierkant te zijn. Overweeg een specifiek voorbeeld:

Hoe een minderjarige van de 2e bestelling te krijgen? U moet bijvoorbeeld twee willekeurige lijnen selecteren, bijvoorbeeld

2e en 4e en blijven , bijvoorbeeld twee willekeurige kolommen, 3e en 5e , en de cijfers op hun kruising Schrijf in minderjarige van de tweede bestelling: ​Hoeveel minderjarigen van de 2e bestelling? Veel. Er zijn speciale combinatorische formules voor het berekenen van het aantal minderheden, maar in het kader van deze les is dit een low-onedy-informatie. .

We krijgen enkele minderjarige van de derde bestelling. We beschouwen drie willekeurige lijnen, bijvoorbeeld, 1e, 3e en 4e

, bijvoorbeeld drie willekeurige kolommen, 1e, 2e en 4e en van hun kruising "Verwijderen" Minor 3e bestelling: Wat betreft de minderjarigen van de 4e orde, dan is de keuze al klein: het is noodzakelijk om alle 4 regels en vier willekeurige kolommen te gebruiken, bijvoorbeeld alle kolommen, met uitzondering van de 3e: )

Algoritme voor het vinden van een graadmatrix met behulp van minderjarige Neem als voorbeeld dezelfde matrix ​Omdat de matrix niet-nulelementen heeft, is zijn rang niet minder dan één en is het duidelijk dat het niet overschrijdt 4. Hoe te handelen?

Vervolgens is het nodig om Brutex te beginnen en de minderjarigen van de 2e bestelling te berekenen. Als alle minderjarigen van de 2e orde nul zijn, is de matrixrang gelijk aan één. Maar het is uiterst onwaarschijnlijk, vroeg of laat (meestal vroeg), zal Nenulul Mind elkaar ontmoeten , en dit feit betekent dat de rang van de matrix .

Niet minder dan twee In de volgende stap hebben we consequent gezworen en berekent en berekent we de minderjarigen van de 3e bestelling. Als al deze mijnwerkers nul zijn, dan ​Als de mindor heeft ontmoet

, we concluderen dat de rang van de matrix

minstens drie

En ga naar de volgende stap.

Vier lijnen en vijf kolommen. De minimale dimensie is daarom vier, daarom is de rang van deze matrix niet groter dan 4.

Buste en het berekenen van minderjarigen van de 4e orde. Als alle minderjarigen van de 4e orde gelijk zijn aan nul, dan

Als ik minderjarige ontmoette T. Dus, :

De rang van de matrix is ​​gelijk aan de maximale volgorde van niet-nul minor Het schema van "Lob in het voorhoofd" wordt vaak bekritiseerd, maar vreemd genoeg geeft het in veel gevallen goede resultaten. Het moet echter de duur van het proces worden opgemerkt en om het aantal berekeningen te verminderen, ontwikkeld: Methode van bruisende minderheden .

Het algoritme in het algemeen, ik ben bang dat er weinig moeten worden begrepen, het is veel gemakkelijker om het te demonteren op een specifieke taak:

Voorbeeld 1.

Zoek de vod van de matrix door de methode van bruisende minderjarigen

: Dana Square Matrix "Four Four" en, natuurlijk, zijn rang is niet meer dan vier. 9 & 7 & 8 & -7 \ END {array} \ Right) $. We rekenen aan:

Omdat de matrix niet-nul elementen heeft, dan is de rang

Niet minder eenheden

Het controleren van minderjarigen van de 2e bestelling beginnen met de zogenaamde

Minor , dus ga naar minder belangrijk , Dus rang matrix

Niet minder dan twee ​Wat zou moeten doen als deze minderjarige nul is? In dit geval beschouwen we Minor

, en als het ook nul is, gaan we verder:

Indien nodig (wanneer er alleen ZEROS waren), moet de zoekopdracht van minderjarige worden voortgezet door een soortgelijk schema: 1e en 3e lijnen;

1e en 4e lijnen; 2e en 3e lijnen; 2e en 4e lijnen; De 3e en 4e lijnen - totdat de minderjarige is, anders dan nul. Als alle minderjarigen van de 2e orde nul bleken, dan Maar in ons geval, in de tweede stap, werd de "Goede" minor gevonden, en nu gaan we naar de overweging van minderjarige minderjarigen. Vind benen met jongere collega

die zal worden opgenomen in alle hoogste bestellingen in kwestie Vraag "Derde wil je?" Het kan worden geadresseerd aan rode of groene kameraad: :

Zou de vijfde kolom zijn - een andere vriend zou worden gevonden.

Laten we beginnen met het rood:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Heeft niet geholpen. Begrijp nu hebzucht:

Ook slecht. Voel de benen hieronder en neem een ​​consistent in het bedrijf "Roll" en "Brown" -aantallen: Eerst, "blauw" met "Raspberry": minstens drie

​Als deze minderjarige nul bleek te zijn, is het noodzakelijk om de determinant te berekenen van de "blauwe" en "bruine" nummers. Andere minderjarigen van de 3e orde, die de jongste nonzero minor bevatten - niet

​En als het "blauwbruin" bepaald ook een bagel at, dan

Minderjarigen van de 3e bestelling zijn eigenlijk meer, en de in dit geval in overweging van de methode kunt u berekeningen, maximaal, maximaal vier determinanten verminderen. Het succes van ons wachtte op de 3e stap en de "goede" nonzero minor

Geharde schoenen:

Nu "Blue" en "Raspberry" kolommen

Moet alle minderjarigen van de hoogste bestellingen invoeren

7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: :

​In dit geval is dit de enige minderjarige van de 4e orde, die samenvalt met de determinant van de matrix:

(Omdat 2e en 3e lijnen evenredig zijn - zie

Eigenschappen van de determinant

Als W. Grootmijnen We waren in de matrix. Er was een vijfde kolom, het zou nodig zijn om nog een minderjarige van de 4e orde ("Blue", "Raspberry" + 5e kolom) te berekenen.

Uitgang

: De maximale volgorde van Nonzero Minraul is drie, het betekent dat

Misschien niet alles tot het einde werd begrepen door deze uitdrukking: minderjarige van de 4e orde is nul, maar bij de minderjarigen van de 3e bestelling gevonden NonZero - daarom de maximale volgorde

niet-nul

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Minder belangrijk en gelijk aan drie.

De vraag rijst en waarom de determinant niet onmiddellijk berekenen? Nou, ten eerste, in de meeste taken, is de matrix niet vierkant, maar ten tweede, zelfs als je een niet-nulwaarde hebt, neemt de taak met een hoge waarschijnlijkheid naar buiten, omdat het meestal de standaard "bottom-up" -oplossing impliceert. En in het beschouwde voorbeeld, suggereert de nulbepalenting van de 4e orde en suggereert dat de vod van de matrix slechts minder dan vier is.

Ik moet bekennen, de gedemonteerde taak die ik met mezelf kwam om de methode van bruisende minderjarigen beter uit te leggen. In de echte praktijk is alles gemakkelijker:

Voorbeeld 2.

Oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Wanneer het algoritme sneller werkt? Laten we teruggaan naar dezelfde "vier vier" matrix

​Uiteraard is de beslissing de kortste in het geval van "goed"

Hoekminneners

7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: :

En als

T.

, anders -

Reflectie is helemaal niet hypothetisch - er zijn veel voorbeelden waarin alles alleen beperkt is door hoekminers.

In sommige gevallen is echter een andere methode efficiënter:

Hoe vind je de rang van de matrix met behulp van de Gauss-methode?

Alinea is ontworpen voor lezers die al bekend zijn met En een klein beetje van een hand erop. Vanuit technisch oogpunt wordt de methode niet onderscheiden door de nieuwheid: 1) Met behulp van elementaire transformaties geven we de matrix aan het staptype; 2) De vod van de matrix is ​​gelijk aan het aantal rijen.

Het is duidelijk dat Het gebruik van de Gauss-methode verandert de graad van de matrix niet , en de essentie hier is uiterst eenvoudig: volgens het algoritme, tijdens de elementaire transformaties, worden alle extra proportionele (lineaire afhankelijke) lijnen gedetecteerd en verwijderd, waardoor het "droge residu" blijft - het maximale aantal lineair onafhankelijke lijnen. We transformeren een oude vertrouwde matrix met coördinaten van drie collineaire vectoren: (1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Naar de derde regel toegevoegd de eerste regel.

(2) nulreeksen verwijderen. Dus bleef één regel daarom  – ​Wat te zeggen is veel sneller dan het berekenen van negen Zero Minors van de 2e bestelling en pas dan te concluderen. Ik herinner je dat op zichzelf Algebraïsche matrix Het is onmogelijk om iets te veranderen, en transformaties worden alleen uitgevoerd om de rang te verduidelijken! Trouwens, laten we weer stoppen met de vraag, waarom niet? Bronmatrix  – Draagt ​​informatie die fundamenteel anders is dan de Matrix-informatie en snaren

​In sommige wiskundige modellen (zonder overdrijving), kan het verschil in één nummer een kwestie van leven en dood zijn. ... Ik herinnerde me de schoolleraren van de wiskunde van primaire en middenklasse, die meedogenloos de schatting van 1-2 punten afsnijden voor de geringste onnauwkeurigheid of afwijking van het algoritme. En het was vreselijk beledigend toen, in plaats daarvan, het zou gegarandeerd "vijf", "goed" of erger lijken. Inzicht kwam veel later - en hoe anders, om de persoonsatellieten, nucleaire kernkoppen en elektriciteitscentrales toe te vertrouwen? Maar je maakt je geen zorgen, ik werk niet in deze gebieden =)

Laten we ons wenden tot meer informatief taken waar we onder andere kennismaken met belangrijke computationele technieken.

Gauss-methode

Voorbeeld 3.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Zoek de rang van de matrix met behulp van elementaire transformaties : Dana Matrix "vier vijf", wat betekent dat zijn rang is duidelijk niet meer dan 4. In de eerste kolom is er geen 1 of -1, daarom zijn er extra stappen nodig om ten minste één eenheid te ontvangen. In de hele tijd van de site heb ik herhaaldelijk een vraag gesteld: "is het mogelijk om de kolommen te herschikken tijdens elementaire transformaties?". Hier - Herschikte de eerste tweede kolom en alles is prima! In de meeste taken waar gebruikt Gauss-methode , de kolommen kunnen echt herschikken. Maar niet nodig. En het punt is niet eens in een mogelijke verwarring met variabelen, het feit is dat het feit dat in de klassieke loop van de opleiding van hogere wiskunde, deze actie traditioneel niet wordt overwogen, daarom zal het erg krom zijn op een dergelijke vernieuwing (en dan zal het zijn dwong alles).

Het tweede punt betreft de cijfers. Tijdens het besluit is het nuttig om te worden geleid door de volgende empirische regels: Elementaire transformaties kunnen indien mogelijk worden verminderd door de matrixnummers. :

​Immers, met een eenheid-twee-drie, is het veel gemakkelijker om veel gemakkelijker te werken dan, bijvoorbeeld, van 23, 45 en 97. en de eerste actie is niet alleen gericht om een ​​eenheid in de eerste kolom te verkrijgen, maar ook tot de eliminatie van nummers 7 en 11. Eerst een complete oplossing, dan opmerkingen: .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. (2) De laatste drie regels zijn evenredig. Verwijderde de 3e en 4e lijnen, de tweede lijn verhuisde naar de eerste plaats. (3) De tweede regel heeft de eerste string toegevoegd vermenigvuldigd met -3.  In de tweelijnsmatrix die aan het podium wordt gegeven. Notitie )

Nu is je beurt om de vier-vier-matrix te kwellen: .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. Voorbeeld 4. Zoek de Rang Matrix door Gauss  Ik herinner je dat

​Of: .

Vervolgens is het nodig om Brutex te beginnen en de minderjarigen van de 2e bestelling te berekenen. Als alle minderjarigen van de 2e orde nul zijn, is de matrixrang gelijk aan één. Maar het is uiterst onwaarschijnlijk, vroeg of laat (meestal vroeg), zal Nenulul Mind elkaar ontmoeten : Gauss-methode Neemt geen ondubbelzinnige stijfheid aan en uw beslissing is waarschijnlijk anders dan mijn beslissing. Een korte monsterontwerptaak ​​aan het einde van de les.

Welke methode om te gebruiken om het cijfer van de matrix te vinden? Vraag "Derde wil je?" Het kan worden geadresseerd aan rode of groene kameraad: In de praktijk wordt het vaak niet gezegd in welke methode moet worden gebruikt om de rang te vinden. In een dergelijke situatie moet de toestand worden geanalyseerd - voor sommige matrices is het meer rationeel om een ​​oplossing door de minderjarigen uit te voeren, en voor anderen is het aanzienlijk winstgevend om elementaire transformaties toe te passen: Voorbeeld 5. Zoek rang matrix : De eerste manier verdwijnt onmiddellijk onmiddellijk =) Net hierboven raadde ik dat ik de kolommen van de matrix niet aanraakt, maar wanneer er een zero kolom of proportionele / samenvattende kolommen is, dan is het nog steeds de moeite waard om amputatie uit te voeren:

(1) De vijfde nulkolom, verwijder deze uit de matrix. Aldus is de rang van de matrix niet meer dan vier. De eerste regel werd vermenigvuldigd met -1. Dit is een andere gemerkte Gauss-methode, die het volgende effect in een aangename wandeling maakt: (2) Aan alle rijen, beginnend met de tweede, voegde de eerste tekenreeks toe. :

(3) De eerste regel werd vermenigvuldigd met -1, de derde lijn was verdeeld in 2, de vierde regel werd verdeeld in 3. naar de vijfde regel toegevoegd de tweede string vermenigvuldigd met -1. Eerst een complete oplossing, dan opmerkingen: .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. (2) De laatste drie regels zijn evenredig. Verwijderde de 3e en 4e lijnen, de tweede lijn verhuisde naar de eerste plaats. (4) Aan de vijfde regel toegevoegd de derde regel vermenigvuldigd met -2. (5) De laatste twee lijnen zijn evenredig met de vijfde verwijderde.

Dientengevolge werden 4 lijnen verkregen. Standaard vijf-verhaal voor zelfstudie: .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. Voorbeeld 4. Voorbeeld 6.   Zoek rang matrix

​Of: .

Vervolgens is het nodig om Brutex te beginnen en de minderjarigen van de 2e bestelling te berekenen. Als alle minderjarigen van de 2e orde nul zijn, is de matrixrang gelijk aan één. Maar het is uiterst onwaarschijnlijk, vroeg of laat (meestal vroeg), zal Nenulul Mind elkaar ontmoeten : Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Opgemerkt moet worden dat de uitdrukking "rang van de matrix" niet zo vaak in de praktijk zal ontmoeten, en in de meeste taken kunt u zonder het doen. Maar er is één taak waarbij het in overweging van het concept de hoofdpersoon is, en in de conclusie van het artikel zullen we deze praktische toepassing overwegen:

Hoe een systeem van lineaire vergelijkingen voor eenheden te onderzoeken?

Vaak, naast de oplossing Eerst een complete oplossing, dan opmerkingen: .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. (2) De laatste drie regels zijn evenredig. Verwijderde de 3e en 4e lijnen, de tweede lijn verhuisde naar de eerste plaats. (4) Aan de vijfde regel toegevoegd de derde regel vermenigvuldigd met -2. Systemen van lineaire vergelijkingen .

(1) De tweede regel heeft de eerste string vermenigvuldigd met -2. Aan de derde lijn voegde de eerste string vermenigvuldigd met -3. En op hoop: de 1e lijn werd toegevoegd aan de 4e regel vermenigvuldigd met -1. Voorbeeld 4. Op voorwaarde, het onderzoeken het vooraf in eenheden, dat wil zeggen, om te bewijzen dat er helemaal geen beslissing is. Een sleutelrol in zo'n inspectiespelen (5) De laatste twee lijnen zijn evenredig met de vijfde verwijderde.

Caperera Capera Theorem Ik formuleer in het vereiste formulier:

Vervolgens is het nodig om Brutex te beginnen en de minderjarigen van de 2e bestelling te berekenen. Als alle minderjarigen van de 2e orde nul zijn, is de matrixrang gelijk aan één. Maar het is uiterst onwaarschijnlijk, vroeg of laat (meestal vroeg), zal Nenulul Mind elkaar ontmoeten : Als rang Systeemmatrices

gelijk aan bel

Extended System Matrix

, Dan is het systeem gecoördineerd en als dit nummer samenvalt met het aantal onbekende, is de oplossing uniek.

Dus om het systeem voor compatibiliteit te bestuderen, moet u de gelijkheid controleren

waar

Systeemmatrix 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (Onthoud de terminologie van de les Gauss-methode ), en Uitgebreide systeemmatrix (d.w.z. matrix met coëfficiënten met variabelen + kolom gratis leden). 7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: :

Alles is simpel: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Voorbeeld 7. Verken het systeem voor uniform en vind de oplossing als het systeem wordt gecoördineerd En wanneer systemen al omkeerbaar zijn - gewoon dubbel ... nee - triple =) : Let niettemin aandacht aan de strikte toplijn - per conditie, Eerst , Het is vereist om het systeem voor eenheden te controleren. Hoe een beslissing te starten? In ieder geval 7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: :

We schrijven de geëxpandeerde systeemmatrix op en met behulp van elementaire transformaties brengen we het naar het type stap: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ a) Voorbeeld nr. 1 van het artikel over De uitsluitingsmethode van onbekend Elementaire transformaties veranderen de rang van matrices niet, dus de equivalente bronmatrix van het systeem werd verkregen als gevolg van acties 7 \ End {array} \ Right | = 0 $ (zie eigenschap # 3 in het onderwerp van de eigenschappen van determinanten). Of het is mogelijk om deze determinant te berekenen met behulp van Formule No. 1 uit de sectie over het berekenen van de tweede en derde orderinstellingen: :

en uitgebreide systeemmatrix

 Extended System Matrix

Maximale volgorde van niet-nul minor

Systeemmatrices

is gelijk aan drie. Hier, in één kopie en valt, is het duidelijk, met de determinant van de matrix zelf:

(zie les over

Добавить комментарий