Pengiraan gred matriks mengikut definisi.

Definisi gred matriks. Pengiraan gred matriks mengikut definisi.

Untuk bekerja dengan konsep kedudukan matriks, kita akan memerlukan maklumat dari topik "Algebra ADD-ONS dan MINORS. Jenis-jenis minoriti dan tambahan algebra." Pertama sekali, ini menyangkut istilah "matriks kecil", kerana pangkat matriks akan ditentukan melalui anak-anak di bawah umur.

Pangkat matriks. Panggil susunan maksimum yang kecil, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar.

Matriks bersamaan - Matrixes yang pangkatnya adalah antara mereka sendiri.

Marilah kita jelaskan lebih lanjut. Katakan di kalangan kanak-kanak bawah umur pesanan kedua terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar. Dan semua kanak-kanak di bawah umur, perintah yang melebihi dua, adalah sifar. Kesimpulan: Kedudukan matriks ialah 2. atau, sebagai contoh, di kalangan kanak-kanak bawah umur perintah kesepuluh ada sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar. Dan semua kanak-kanak di bawah umur, perintah yang melebihi 10 adalah sifar. Kesimpulan: Ring of the Matrix adalah 10.

Gred matriks $ A $ dilambangkan: $ \ Rang A $ atau $ R (A) $. Pangkat sifar matriks $ o $ dianggap sebagai sifar, $ \ rang o = 0 $. Biar saya mengingatkan anda bahawa untuk pembentukan kanak-kanak kecil, matriks diperlukan untuk mengarahkan rentetan dan lajur - bagaimanapun, untuk memadamkan baris dan lajur lebih daripada matriks itu sendiri, adalah mustahil. Sebagai contoh, jika $ F $ matriks mempunyai saiz $ 5 \ kali $ 4 (iaitu mengandungi 5 baris dan 4 lajur), maka susunan maksimum minornya adalah sama dengan empat. Anak-anak bawah umur perintah kelima tidak akan berjaya, kerana mereka memerlukan 5 lajur (dan kita hanya mempunyai 4). Ini bermakna pangkat matriks $ F $ tidak boleh melebihi empat, iaitu. $ \ rang f≤4 $.

Dalam bentuk yang lebih umum, yang disebut terdahulu bermakna bahawa jika matriks mengandungi $ m $ baris dan $ n $ lajur, maka pangkatnya tidak boleh melebihi yang paling kecil dari $ M $ dan $ N $. $ \ Rang a≤ \ min (m, n) $.

Pada dasarnya, kaedah untuk mencari ia diikuti dari definisi pangkat yang sangat. Proses mencari pangkat matriks mengikut definisi boleh diserahkan secara skematik:

Seterusnya dengannya,

Saya akan menerangkan skim ini dengan lebih terperinci. Mari kita mula bercakap dari awal, iaitu. Dari kanak-kanak bawah umur perintah pertama beberapa matriks $ A $.

  1. Jika semua kanak-kanak di bawah umur pesanan pertama (iaitu, unsur-unsur matriks $ A $) adalah sifar, maka $ \ rang a = 0 $. Sekiranya di kalangan kanak-kanak bawah umur pesanan pertama terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, maka $ \ rang A≥ $ 1. Pergi untuk memeriksa anak kecil pesanan kedua.
  2. Jika semua kanak-kanak bawah umur pesanan kedua adalah sifar, maka $ \ rang a = 1 $. Jika di kalangan kanak-kanak bawah umur pesanan kedua terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, maka $ \ rang A≥ $ 2. Pergi untuk memeriksa anak kecil pesanan ketiga.
  3. Jika semua kanak-kanak di bawah ketiga adalah sifar, maka $ \ rang a = $ 2. Jika di kalangan kanak-kanak bawah umur perintah ketiga terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, maka $ \ rang A≥ $ 3. Pergi untuk memeriksa anak-anak di bawah umur perintah keempat.
  4. Jika semua urutan keempat di bawah umur adalah sifar, maka $ \ rang a = $ 3. Jika di kalangan kanak-kanak di bawah perintah keempat terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, maka $ \ rang a≥ $ 4. Pergi untuk memeriksa kanak-kanak bawah umur perintah kelima dan sebagainya.

Apa yang sedang menunggu untuk kami pada akhir prosedur ini? Adalah mungkin bahawa di kalangan kanak-kanak di atas perintah K-th terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar, dan semua kanak-kanak bawah umur (K + 1) perintah itu akan menjadi sifar. Ini bermakna K adalah susunan maksimum minoror, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, iaitu. Pangkat akan sama dengan k. Mungkin terdapat keadaan yang berbeza: di antara kanak-kanak bawah umur perintah K-th akan ada sekurang-kurangnya satu tidak sama dengan sifar, dan minor (K + 1) tidak lagi mungkin untuk membentuk prosedur. Dalam kes ini, kain matriks juga sama dengan k. Singkatnya, Perintah yang terakhir terdiri daripada orang yang tidak suka kecil dan akan sama dengan margin matriks .

Mari kita beralih kepada contoh-contoh di mana proses mencari pangkat matriks mengikut definisi akan digambarkan. Kami akan menekankan sekali lagi bahawa dalam contoh-contoh topik ini, kami akan mendapati pangkat matriks hanya menggunakan definisi pangkat. Kaedah lain (pengiraan pangkat matriks oleh kaedah kecil yang sibuk, pengiraan gred matriks dengan kaedah transformasi asas) dianggap dalam topik berikut.

By the way, tidak perlu untuk memulakan prosedur untuk mencari pangkat dengan kanak-kanak kecil dari urutan terkecil, seperti yang dilakukan dalam contoh No. 1 dan No. 2. Anda boleh segera pergi ke penambang pesanan yang lebih tinggi (lihat contoh nombor 3).

Contoh №1.

Cari Rank Matrix $ A = \ Kiri (\ Mula {array} {ccccc}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ End {array} \ right) $.

Keputusan

Matriks ini mempunyai saiz $ 3 \ kali $ 5, iaitu. Mengandungi tiga baris dan lima lajur. Daripada nombor 3 dan 5, minimum adalah 3, oleh itu pangkat matriks $ A $ tidak lebih besar daripada 3, iaitu. $ \ Rang a≤ $ 3. Dan ketidaksamaan ini jelas, sejak di bawah umur perintah keempat, kita tidak boleh lagi membentuk, - bagi mereka yang anda perlukan 4 baris, dan kami hanya mempunyai 3. Saya berpaling secara langsung kepada proses mencari pangkat matriks yang diberikan.

Antara kanak-kanak bawah umur perintah pertama (iaitu, antara unsur-unsur matriks $ A $) terdapat nonzero. Sebagai contoh, 5, -3, 2, 7. Secara umum, kita tidak berminat dengan jumlah unsur bukan sifar. Terdapat sekurang-kurangnya satu item sifar yang tidak sama - dan ini sudah cukup. Sejak di kalangan kanak-kanak di bawah urutan pertama terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar, kami menyimpulkan bahawa $ \ rang A≥ $ 1 dan pergi untuk memeriksa anak kecil pesanan kedua.

Mari kita mula menyiasat kanak-kanak bawah umur perintah kedua. Sebagai contoh, di persimpangan baris No. 1, No. 2 dan Lajur No. 1, No. 4 adalah unsur-unsur kecil: $ \ LEFT | \ Mula {array} {cc}

lima puluh \\

7 & 0 \ end {array} \ right | $. Dalam penentu ini, semua elemen lajur kedua adalah sifar, oleh itu penentu itu sendiri adalah sifar, iaitu. $ \ kiri | \ Mula {array} {cc}

lima puluh \\

7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: $$.

\ kiri | \ Mula {array} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ End {array} \ Right | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$.

Minor pertama pesanan kedua ternyata menjadi sifar. Apakah maknanya? Mengenai apa yang perlu diteruskan untuk memeriksa anak-anak di bawah umur pesanan kedua. Sama ada mereka semua akan menjadi sifar (dan kemudian pangkat akan sama dengan 1), atau di antara mereka akan ada sekurang-kurangnya satu kecil, berbeza dari sifar. Mari kita cuba membuat pilihan yang lebih berjaya dengan menulis sedikit pesanan kedua, unsur-unsur yang terletak di persimpangan rentetan No. 1, No. 2 dan Lajur No. 1 dan No. 5: $ \ Kiri | \ Mula {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ right | $. Cari makna penambang ini perintah kedua:

$$.

\ kiri | \ Mula {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ right | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1.

$$.

Kecil ini tidak sama dengan sifar. Kesimpulan: Antara kanak-kanak bawah umur pesanan kedua terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar. Akibatnya $ \ rang a≥ $ 2. Ia perlu untuk bergerak ke kajian kanak-kanak di bawah umur.

Jika kita akan memilih nombor lajur 2 atau lajur No. 4 untuk membentuk anak-anak di bawah umur ketiga, maka pelombong tersebut akan menjadi sifar (kerana mereka akan mengandungi lajur sifar). Ia tetap untuk memeriksa hanya satu kecil perintah ketiga, unsur-unsur yang terletak di persimpangan lajur No. 1, No. 3, No. 5 dan No. 1, No. 2, No. 3. Kami menulis ini kecil dan mencari nilainya:

$$.

7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: \ kiri | \ Mula {array} {ccc}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ End {array} \ right | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: Jadi semua kanak-kanak di bawah umur perintah ketiga adalah sifar. Yang terakhir yang kita buat oleh orang Nonzero Minor adalah perintah kedua. Kesimpulan: Perintah maksimum minoror, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar, adalah 2. Oleh itu, $ \ rang a = $ 2.

Jawapan

: $ \ Rang a = $ 2.

Contoh nombor 2.

Cari Rank Matrix $ A = \ Kiri (\ Mula {array} {CCCC} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 & 8 & -7 \ end {array} \ right) $. Kami mempunyai matriks persegi dari perintah keempat. Segera perhatikan bahawa pangkat matriks ini tidak melebihi 4, iaitu. $ \ Rang a≤ $ 4. Kami akan meneruskan untuk mencari gred matriks. Antara kanak-kanak bawah umur perintah pertama (iaitu, antara unsur-unsur matriks $ A $) terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, oleh itu $ \ rang a≥ $ 1. Pergi untuk memeriksa anak kecil pesanan kedua. Sebagai contoh, di persimpangan Talian No. 2, No. 3 dan Lajur No. 1 dan No. 2 Kami akan menerima sebilangan kecil pesanan kedua: $ \ LEFT | \ Mula {array} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ end {array} \ right | $. Saya mengira ia:

$$.

\ kiri | \ Mula {array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {array} \ right | = 0-10 = -10. :

$$. Antara kanak-kanak bawah umur pesanan kedua terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, oleh itu $ \ rang a≥ $ 2. Marilah kita beralih kepada penambang perintah ketiga. Kita akan mendapati, sebagai contoh, kecil, unsur-unsur yang terletak di persimpangan baris No. 1, No. 3, No. 4 dan Lajur No. 1, No. 2, No. 4:

$$.  \ kiri | \ Mula {array} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ End {array} \ Right | = 105-105 = 0. $$. Sejak perintah ketiga kecil ternyata sama dengan sifar, maka anda perlu meneroka satu lagi perintah ketiga. Sama ada semua yang mereka akan sama dengan sifar (maka pangkat akan sama dengan 2), atau sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar di antara mereka (kemudian untuk meneroka anak-anak bawah umur perintah keempat). Pertimbangkan yang kecil dari perintah ketiga, unsur-unsur yang terletak di persimpangan baris No. 2, No. 3, No. 4 dan Lajur No. 2, No. 3, №4: $$. \ kiri | \ Mula {array} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ End {array} \ right | = -28. $$. Antara kanak-kanak bawah umur perintah ketiga terdapat sekurang-kurangnya satu selain daripada sifar, oleh itu $ \ rang a≥ $ 3. Pergi untuk memeriksa anak-anak di bawah umur perintah keempat. Mana-mana kecil perintah keempat terletak di persimpangan empat baris dan empat lajur $ a $ matriks. Dalam erti kata lain, kecil dari perintah keempat ialah pengenal dari matriks $ A $, kerana matriks ini hanya mengandungi 4 baris dan 4 lajur. Penentu matriks ini dikira sebagai contoh No. 2 dari topik "Menurunkan perintah penentu. Penguraian penentu pada rentetan (lajur)", jadi kami hanya mengambil keputusan yang sudah selesai:

$$. \ kiri | \ Mula {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 & 8 & -7 \ End {array} \ Right | = 86.

$$. Jadi, kecil perintah keempat tidak sama dengan sifar. Minor dari perintah kelima kita tidak boleh lagi membentuk. Kesimpulan: Perintah tertinggi minoror, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu yang berbeza dari sifar, adalah 4. Hasil: $ \ Rang A = $ 4. : $ \ Rang a = $ 4. Contoh nombor 3. Cari Rank Matrix $ A = \ Kiri (\ Mula {array} {CCCC} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$. 7 & -4 & 0 & -5 \ End {array} \ right) $. Segera perhatikan bahawa matriks ini mengandungi 3 baris dan 4 lajur, oleh itu $ \ rang a≤ $ 3. Dalam contoh terdahulu, kami memulakan proses mencari pangkat dari pertimbangan anak-anak di bawah umur yang paling kecil (pertama). Di sini kita akan cuba segera memeriksa anak-anak di bawah umur yang maksimum. Untuk $ A $ matriks, kanak-kanak di bawah umur adalah. Pertimbangkan yang kecil dari perintah ketiga, unsur-unsur yang terletak di persimpangan baris No. 1, No. 2, No. 3 dan Lajur No. 2, No. 3, No. 4: $$. \ kiri | \ Mula {array} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ akhir {array} \ right | = -8-60-20 = -88. $$. Oleh itu, perintah tertinggi dana, di antaranya terdapat sekurang-kurangnya satu, tidak sama dengan sifar, adalah 3. Oleh itu, gred matriks adalah 3, iaitu. $ \ Rang a = $ 3. : $ \ Rang a = $ 3. Secara umum, mencari pangkat matriks mengikut definisi - dalam kes umum, tugas itu cukup memakan masa. Sebagai contoh, matriks sejumlah kecil $ 5 kali $ 4 $ mempunyai 60 kanak-kanak di bawah umur kedua. Dan jika bahkan 59 daripadanya akan menjadi sifar, maka minor ke-60 boleh menjadi nonzero. Kemudian anda perlu meneroka anak-anak di bawah umur perintah ketiga, yang matriks ini mempunyai 40 keping. Biasanya mereka cuba menggunakan cara yang kurang besar, seperti kaedah menumpukan miner atau kaedah transformasi yang setara. .

Bagaimana untuk mencari pangkat Matrix? Pengetahuan tentang gred matriks akan meningkatkan kedudukan anda =) Dalam pelajaran hari ini, kami akan mengenali konsep pangkat Algebra matriks. , belajar bagaimana untuk mencari pangkat matriks Kaedah dana membosankan Oleh Gauss.

, serta mempertimbangkan topik aplikasi praktikal yang penting: Kajian sistem persamaan linear untuk keserasian Apakah pangkat matriks?

Epigraf lucu artikel mengandungi sebahagian besar kebenaran. Perkataan "pangkat" itu biasanya dikaitkan dengan beberapa hierarki, paling kerap, dengan tangga perkhidmatan. Semakin besar pengetahuan, pengalaman, kebolehan, kekal, dan sebagainya. - Semakin tinggi kedudukannya dan pelbagai kemungkinan. Saya dinyatakan oleh belia, di bawah pangkat itu membayangkan tahap umum "kecurian". Dan saudara-saudara matematik kita hidup mengikut prinsip yang sama. Saya akan membawa beberapa sewenang-wenang untuk berjalan-jalan Matriks sifar. Fikirkan jika dalam matriks Beberapa sifar

Kedudukan apa yang boleh kita bicarakan? Semua orang biasa dengan ungkapan tidak rasmi "Zero Penuh". Dalam masyarakat, matriks adalah sama persis.

Pangkat sifar matriks. Mana-mana saiz adalah sifar Catatan .

-1 & 3 & -3 \\ : Matriks sifar ditunjukkan oleh huruf Yunani "Theta"

Untuk lebih memahami pangkat matriks di sini dan kemudian saya akan menarik bahan untuk menyelamatkannya :

Geometri analitik.

. Pertimbangkan sifar Pengetahuan tentang gred matriks akan meningkatkan kedudukan anda =) vektor ruang tiga dimensi kami yang tidak menentukan arah tertentu dan tidak berguna untuk dibina Affine Base.

. Dari sudut pandang algebra, koordinat vektor ini direkodkan dalam Matriks "Satu hingga tiga" dan logik (dalam pengertian geometri yang ditentukan) Ia adalah perlu bahawa pangkat matriks ini adalah sifar. Sekarang pertimbangkan sedikit

Nenulevoy. Vektor lajur. Rentetan vektor.

Dalam setiap contoh terdapat sekurang-kurangnya satu elemen nonzero, dan ini sudah ada sesuatu!

Bagaimana untuk mencari pangkat Matrix? Pengetahuan tentang gred matriks akan meningkatkan kedudukan anda =) vektor Pangkat mana-mana rentetan vektor bukan sifar (vektor lajur) adalah sama dengan satu Dan secara amnya bercakap - Jika dalam matriks Saiz sewenang-wenangnya

Terdapat sekurang-kurangnya satu elemen nonzero, maka pangkatnya tidak kurang unit .

Algebra vektor rentetan dan vektor lajur abstrak abstrak, jadi kami akan kembali kepada persatuan geometri. Nenuleva.

Menentukan arah yang benar-benar ditentukan di ruang angkasa dan sesuai untuk pembinaan. : Basiswa. , jadi pangkat matriks Kami akan mempertimbangkan unit yang sama. Sijil teoritis

: Dalam algebra linear, vektor adalah elemen ruang vektor (ditakrifkan melalui 8 aksioms), yang, khususnya, boleh menjadi rentetan yang dipesan (atau lajur) nombor yang sah dengan operasi yang pasti untuk mereka dan pendaraban pada nombor yang sah

. Maklumat lanjut mengenai vektor boleh didapati dalam artikel. Transformasi Linear. Pertimbangkan matriks yang barisnya adalah .

bergantung secara linear

(dinyatakan dalam satu sama lain). Dari sudut pandang geometrik, koordinat vektor Collinear direkodkan dalam rentetan kedua. yang tidak memajukan kes dalam bangunan Asas tiga dimensi Menjadi lebihan dalam pengertian ini. Oleh itu, pangkat matriks ini juga sama dengan satu. Kami menulis semula koordinat vektor dalam lajur (

Transposing matriks. ): Apa yang telah berubah dari sudut pandangan pangkat? Tiada apa-apa. Lajur adalah berkadar, ini bermakna pangkat adalah sama dengan satu. Dengan cara ini, perhatikan bahawa ketiga-tiga baris juga berkadar. Mereka boleh dikenalpasti dengan koordinat Tiga. Vektor Plane Collinear dari mana hanya satu Ia berguna untuk membina asas "rata". Dan ini konsisten sepenuhnya dengan rasa kita yang geometric. Contoh di atas mengikuti pernyataan penting: Peringkat matriks pada baris adalah sama dengan gred lajur .

. Saya telah menyebut perkara ini sedikit mengenai pelajaran tentang berkesan

Kaedah untuk mengira penentu : Dari pergantungan linear rentetan mengikuti pergantungan linear lajur (dan sebaliknya). Tetapi untuk menjimatkan masa, dan kerana kebiasaan, saya hampir selalu bercakap tentang kebergantungan linear garis. Teruskan melatih haiwan kesayangan kami. Tambah kepada matriks koordinat baris ketiga vektor kollinear yang lain Adakah dia membantu dalam membina asas tiga dimensi? Sudah tentu tidak. Ketiga-tiga vektor berjalan di sana dan di sini di satu trek, dan pangkat matriks adalah sama dengan satu. Anda boleh mengambil berapa banyak vektor kollinear, katakan, 100, meletakkan koordinat mereka dalam matriks "seratus satu" dan pangkat pencakar langit sedemikian akan tetap menjadi satu. Berkenalan dengan matriks Linearly Independent. . Sepasang vektor nonollyline

Sesuai untuk membina asas tiga dimensi. Peringkat matriks ini adalah dua. Dan apakah pangkat matriks ? Baris seolah-olah tidak berkadar ..., ini bermakna, dalam gagasan tiga. Walau bagaimanapun, pangkat matriks ini juga sama dengan dua. Saya melipat dua baris pertama dan mencatatkan hasil di bawah, iaitu Secara linear dinyatakan Baris ketiga melalui dua yang pertama. Rentetan matriks geometri sesuai dengan tiga koordinat Vectors Complian. .

Bekerja dalam triple ini terdapat sepasang rakan-rakan nonolline.

Seperti yang anda dapat lihat

Ketagihan Linear. Dalam matriks yang dianggap tidak jelas, dan hari ini kita akan belajar untuk menarik baliknya "pada air bersih."

Saya fikir ramai yang meneka apakah pangkat matriks! . Vectors. Bentuk .

Asas Affine. , dan pangkat matriks ini adalah tiga. Seperti yang anda ketahui, mana-mana vektor keempat, kelima, kesepuluh ruang tiga dimensi akan dinyatakan secara linear melalui vektor asas. Oleh itu, jika dalam matriks Tambah apa-apa bilangan baris, maka pangkatnya ia masih akan menjadi tiga

Argumen yang sama boleh dilakukan untuk matriks bersaiz besar (jelas, tanpa makna geometri). Definisi Peringkat matriks adalah bilangan maksimum garis-garis bebas secara linear .

. Atau: Peringkat matriks adalah bilangan maksimum lajur bebas linear .

. Ya, nombor mereka sentiasa bertepatan.

Daripada yang disebut terdahulu, satu mercu tanda praktikal yang penting juga:

Peringkat matriks tidak melebihi dimensi minimumnya

. Sebagai contoh, dalam matriks

Empat baris dan lima lajur. Oleh itu, dimensi minimum adalah empat, oleh itu, pangkat matriks ini tidak melebihi 4.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Jawatan

: Dalam teori dunia dan amalan tidak ada standard yang diterima umum untuk penetapan gred matriks, yang paling sering anda dapat bertemu:

- Seperti yang mereka katakan, orang Inggeris menulis satu, orang Jerman yang lain. Oleh itu, mari kita ke anekdot yang terkenal tentang neraka Amerika dan Rusia untuk menetapkan pangkat matriks oleh perkataan asli. Sebagai contoh: . Dan jika matriks "tidak dinamakan", koim banyak bertemu, maka anda hanya boleh merakam .

Bagaimana untuk mencari pangkat Matrix dengan bantuan minorors? Pada o. kelas .

Pengiraan penentu :

dan tinggal Reverse Matrix. Kami telah bertemu dengan anak-anak di bawah umur pesanan kedua, yang diperoleh dengan mengekspresikan baris dan lajur dalam matriks "Tiga Tiga". Sekarang kita akan mengembangkan konsep kecil dan memberikan definisi ... Jangan mengeluh begitu keras, di sini dengan gambar =) Kecil

, , .

segi empat tepat

Matriks dipanggil

penentu .

terdiri daripada nombor yang berada di persimpangan pelbagai , baris dan berbeza :

lajur matriks. Nombor

Hubungi

Memerintahkan Minra.  

Perhatikan bahawa matriks itu sendiri tidak diwajibkan menjadi persegi. Pertimbangkan contoh tertentu:

Bagaimana untuk mendapatkan mana-mana kecil pesanan ke-2? Anda perlu memilih dua baris sewenang-wenang, sebagai contoh,

2 dan 4. dan tinggal , dua lajur yang sewenang-wenang, sebagai contoh, 3 dan 5. , dan nombor di persimpangan mereka Tulis dalam kecil pesanan kedua: . Berapa banyak kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2? Ramai. Terdapat formula kombinatori khas untuk mengira bilangan minoriti, tetapi dalam rangka pengajaran ini ini adalah maklumat yang rendah. .

Kami mendapat sedikit pesanan ketiga. Kami menganggap tiga baris sewenang-wenang, sebagai contoh, 1, ke-3 dan ke-4

, tiga lajur sewenang-wenang, sebagai contoh, 1, ke-2 dan ke-4 dan dari persimpangan mereka "Keluarkan" pesanan ke-3 kecil: Bagi kanak-kanak bawah umur pesanan ke-4, maka pilihannya sudah kecil: adalah perlu untuk menggunakan semua 4 baris dan empat lajur sewenang-wenang, sebagai contoh, semua lajur, dengan pengecualian ke-3: )

Algoritma untuk mencari matriks gred dengan bantuan kecil Sebagai contoh, ambil matriks yang sama . Oleh kerana matriks mempunyai unsur-unsur yang tidak zalim, maka pangkatnya tidak kurang dari satu dan, jelas bahawa ia tidak melebihi 4. Bagaimana untuk bertindak seterusnya?

Seterusnya, adalah perlu untuk memulakan brutex dan mengira kanak-kanak bawah umur perintah ke-2. Sekiranya semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 adalah sifar, kedudukan matriks adalah sama dengan satu. Tetapi ia sangat tidak mungkin, lambat laun (paling kerap awal), Nenulul Mind akan bertemu , dan fakta ini bermakna pangkat matriks .

Tidak kurang daripada dua Dalam langkah seterusnya, kami secara konsisten bersumpah dan mengira kanak-kanak bawah umur perintah ke-3. Sekiranya semua pelombong ini sifar, maka . Sekiranya Mindor bertemu

, kami menyimpulkan bahawa pangkat matriks

sekurang-kurangnya tiga

Dan pergi ke langkah seterusnya.

Empat baris dan lima lajur. Oleh itu, dimensi minimum adalah empat, oleh itu, pangkat matriks ini tidak melebihi 4.

Bust dan mengira minoror dari perintah ke-4. Jika semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-4 adalah sama dengan sifar, maka

Sekiranya saya bertemu dengan kecil T. Oleh itu, :

Peringkat matriks adalah sama dengan susunan maksimum yang tidak maksimum Skim "lob di dahi" sering dikritik, tetapi cukup aneh, dalam banyak kes ia memberikan hasil yang baik. Walau bagaimanapun, ia perlu diperhatikan tempoh proses dan untuk mengurangkan bilangan pengiraan, yang dibangunkan: Kaedah Bustling Minorors .

Algoritma pada umumnya, saya takut akan ada sedikit yang difahami, lebih mudah untuk membongkarnya pada tugas tertentu:

Contoh 1.

Cari kain matriks dengan kaedah kanak-kanak bawah umur yang sibuk

: Dana Matriks Square "Empat Empat" dan, tentu saja, pangkatnya tidak lebih dari empat. 9 & 7 & 8 & -7 \ end {array} \ right) $. Kami mengenakan bayaran:

Sejak matriks mempunyai unsur-unsur bukan zon, maka pangkatnya

Tidak kurang unit

Memeriksa kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 bermula dengan apa yang dipanggil

Corner Minor. , jadi pergi ke kecil , Jadi, kedudukan matriks

Tidak kurang daripada dua . Apa yang perlu dilakukan jika kecil ini ternyata menjadi sifar? Dalam kes ini, kita menganggap kecil

, dan jika ia juga sifar, kita pergi lebih jauh:

Jika perlu (apabila ada Zeros sahaja), pencarian Minor perlu diteruskan oleh skim yang sama: Garisan pertama dan ke-3;

Garisan pertama dan ke-4; Garisan ke-2 dan ke-3; Kedua dan ke-4; Barisan ke-3 dan ke-4 - sehingga kanak-kanak itu pernah sekali, berbeza dari sifar. Jika semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 ternyata menjadi sifar, maka Tetapi dalam kes kami, pada langkah kedua, "baik" kecil ditemui, dan sekarang kita pergi ke pertimbangan anak-anak di bawah umur. Cari kaki dengan rakan sekerja yang lebih muda

yang akan dimasukkan dalam semua pesanan tertinggi yang dipersoalkan Soalan "Ketiga Adakah Anda?" Ia boleh ditangani sama ada Red atau Green Framrade: :

Akan menjadi lajur kelima - rakan lain akan dijumpai.

Mari kita mulakan dengan merah:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Tidak membantu. Sekarang faham keserakahan:

Juga buruk. Rasa kaki di bawah dan ambil secara konsisten dalam syarikat "Roll" dan "Brown" nombor: Pertama, "biru" dengan "raspberry": sekurang-kurangnya tiga

. Sekiranya kanak-kanak ini ternyata sifar, maka ia perlu untuk mengira penentu dari nombor "biru" dan "coklat". Anak-anak bawah umur yang lain dari perintah ke-3, yang mengandungi anak kecil yang paling muda - Tidak

. Dan jika "biru-coklat" ditentukan juga makan bagel, maka

Minor dari pesanan ke-3 sebenarnya lebih, dan kaedah yang sedang dipertimbangkan dalam kes ini membolehkan anda mengurangkan pengiraan, maksimum, sehingga empat penentu. Kejayaan kami menunggu langkah ke-3, dan "baik" yang tidak suka

Kasut yang keras:

Sekarang lajur "biru" dan "raspberry"

mesti memasukkan semua kanak-kanak bawah umur pesanan tertinggi

7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: :

. Dalam kes ini, ini adalah satu-satunya yang kecil dari perintah ke-4, yang bertepatan dengan penentu matriks:

(Kerana baris ke-2 dan ke-3 adalah berkadar - lihat

Sifat penentu

Jika W. Grandmas. Kami berada di matriks terdapat lajur kelima, adalah perlu untuk mengira satu lagi kecil pesanan ke-4 ("biru", "raspberry" + 5).

Pengeluaran

: Perintah maksimum Nonzero Minraul adalah tiga, ia bermakna itu

Mungkin tidak semua hingga akhir yang dipengaruhi oleh frasa ini: Minor dari perintah ke-4 adalah sifar, tetapi di kalangan kanak-kanak di bawah perintah ke-3 ditemui Nonzero - oleh itu urutan maksimum

bukan sifar

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Kecil dan sama dengan tiga.

Persoalan timbul, dan mengapa tidak mengira penentu dengan segera? Nah, pertama, dalam kebanyakan tugas, matriks bukan persegi, tetapi kedua, walaupun anda mempunyai nilai yang tidak sifar, tugas dengan kebarangkalian yang tinggi mengambil, kerana ia biasanya membayangkan penyelesaian "bawah" standard. Dan dalam contoh yang dianggap, penentu sifar perintah ke-4 dan sama sekali menunjukkan bahawa kain matriks hanya kurang dari empat.

Saya mesti mengaku, tugas yang disassembled saya datang dengan diri saya untuk lebih baik menjelaskan kaedah kanak-kanak bawah umur yang sibuk. Dalam amalan sebenar, semuanya lebih mudah:

Contoh 2.

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apabila algoritma berfungsi lebih cepat? Mari kita kembali ke matriks yang sama "empat empat"

. Jelas sekali, keputusan itu akan menjadi yang terpendek dalam kes "baik"

Corner minorors.

7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: :

Dan jika

T.

, sebaliknya -

Refleksi tidak sama sekali hypothetically - terdapat banyak contoh di mana segala-galanya hanya terhad oleh penambang sudut.

Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, kaedah lain lebih cekap:

Bagaimana untuk mencari pangkat Matrix menggunakan kaedah Gauss?

Perenggan direka untuk pembaca yang sudah biasa Dan sedikit tangan di atasnya. Dari sudut pandangan teknikal, kaedah ini tidak dibezakan oleh kebaruan: 1) Dengan bantuan transformasi asas, kami memberikan matriks kepada jenis langkah; 2) Rag of the Matrix adalah sama dengan bilangan baris.

Sudah jelas Menggunakan kaedah Gauss tidak mengubah gred matriks , dan intipati di sini sangat mudah: menurut algoritma, semasa transformasi asas, semua garis tambahan (bergantung linear) dikesan dan dikeluarkan, akibat dari mana "residu kering" kekal - jumlah maksimum linear garisan bebas. Kami mengubah matriks biasa yang biasa dengan koordinat tiga vektor kollinear: (1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Ke baris ketiga menambah baris pertama.

(2) rentetan sifar mengeluarkan. Oleh itu, satu baris kekal, oleh itu,  – . Apa yang hendak dikatakan adalah lebih cepat daripada mengira sembilan kanak-kanak di bawah umur perintah ke-2 dan hanya membuat kesimpulan. Saya mengingatkan anda bahawa dengan sendirinya Algebra matriks. Tidak mustahil untuk mengubah apa-apa, dan transformasi dilakukan hanya untuk menjelaskan pangkat! By the way, mari kita berhenti lagi pada soalan, mengapa tidak? Sumber matriks.  – Membawa maklumat yang secara asasnya berbeza daripada maklumat matriks dan rentetan

. Dalam sesetengah model matematik (tanpa keterlaluan), perbezaan dalam satu nombor mungkin menjadi masalah kehidupan dan kematian. ... Saya teringat guru sekolah Matematik kelas-kelas utama dan menengah, yang dengan kejam memotong anggaran untuk 1-2 mata untuk ketidaktepatan atau penyimpangan dari algoritma. Dan ia sangat menghina apabila, sebaliknya, ia akan kelihatan dijamin "lima", "baik" atau lebih buruk. Memahami datang kemudian - dan bagaimana sebaliknya, untuk mempercayakan orang satelit, peledak nuklear dan loji kuasa? Tetapi anda tidak bimbang, saya tidak bekerja di kawasan ini =)

Marilah kita beralih kepada tugas yang lebih bermaklumat di mana, antara lain, kita akan mengenali teknik pengkomputeran yang penting.

Kaedah Gauss.

Contoh 3.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Cari pangkat Matrix menggunakan Transformasi Elementary : Dana matriks "empat lima", yang bermaksud pangkatnya jelas tidak lebih dari 4. Dalam lajur pertama, tidak ada 1 atau -1, oleh itu, langkah-langkah tambahan diperlukan untuk menerima sekurang-kurangnya satu unit. Dalam semua masa laman web ini, saya telah berulang kali bertanya: "Adakah mungkin untuk menyusun semula lajur semasa transformasi asas?". Di sini - menyusun semula lajur kedua pertama, dan semuanya baik-baik saja! Dalam kebanyakan tugas di mana digunakan Kaedah Gauss. , lajur boleh benar-benar menyusun semula. Tetapi tidak perlu. Dan perkara itu tidak mungkin dalam kekeliruan yang mungkin dengan pembolehubah, hakikatnya dalam perjalanan klasik latihan matematik yang lebih tinggi, tindakan ini secara tradisional tidak dipertimbangkan, oleh itu ia akan menjadi sangat bengkok pada peruntukan sedemikian (dan kemudiannya akan menjadi memaksa segala-galanya).

Titik kedua membimbangkan nombor tersebut. Semasa keputusan itu berguna untuk dipandu oleh peraturan empirikal berikut: Transformasi asas boleh dikurangkan oleh nombor matriks jika boleh. :

. Lagipun, dengan unit-dua-tiga, lebih mudah untuk bekerja lebih mudah daripada, sebagai contoh, dari 23, 45 dan 97. Dan tindakan pertama diarahkan bukan sahaja untuk mendapatkan unit dalam lajur pertama, tetapi juga kepada penghapusan nombor 7 dan 11. Pertama penyelesaian lengkap, maka komen: .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. (2) Tiga baris terakhir adalah berkadar. Mengeluarkan garisan ke-3 dan ke-4, baris kedua berpindah ke tempat pertama. (3) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3.  Dalam matriks dua baris yang diberikan ke pentas. Catatan )

Sekarang giliran anda adalah untuk menyiksa empat empat matriks: .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. Contoh 4. Cari Matrix Rang oleh Gauss  Saya mengingatkan anda bahawa

. Atau: .

Seterusnya, adalah perlu untuk memulakan brutex dan mengira kanak-kanak bawah umur perintah ke-2. Sekiranya semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 adalah sifar, kedudukan matriks adalah sama dengan satu. Tetapi ia sangat tidak mungkin, lambat laun (paling kerap awal), Nenulul Mind akan bertemu : Kaedah Gauss. Tidak menganggap ketegaran yang tidak jelas, dan keputusan anda mungkin berbeza dari keputusan saya. Tugas reka bentuk sampel ringkas pada akhir pelajaran.

Apakah kaedah yang perlu digunakan untuk mencari gred matriks? Soalan "Ketiga Adakah Anda?" Ia boleh ditangani sama ada Red atau Green Framrade: Dalam praktiknya, ia sering tidak dikatakan sama sekali kaedah yang mesti digunakan untuk mencari pangkat. Dalam keadaan sedemikian, keadaan harus dianalisis - untuk beberapa matriks, lebih rasional untuk menjalankan penyelesaian melalui kanak-kanak bawah umur, dan bagi orang lain, ia jauh lebih menguntungkan untuk memohon transformasi asas: Contoh 5. Cari kedudukan matriks. : Cara pertama entah bagaimana segera hilang =) Hanya di atas, saya dinasihatkan untuk tidak menyentuh lajur matriks, tetapi apabila terdapat lajur sifar, atau lajur yang berkadar / bertepatan, maka ia masih bernilai menjalankan amputasi:

(1) Lajur sifar kelima, keluarkannya dari matriks. Oleh itu, pangkat matriks tidak lebih dari empat. Baris pertama telah didarabkan oleh -1. Ini adalah satu lagi kaedah Gauss yang berjenama, yang mengubah kesan berikut dalam berjalan-jalan yang menyenangkan: (2) Kepada semua baris, bermula dengan yang kedua, tambah rentetan pertama. :

(3) Baris pertama telah didarabkan oleh -1, baris ketiga dibahagikan kepada 2, baris keempat dibahagikan kepada 3. Kepada baris kelima menambah rentetan kedua yang didarabkan oleh -1. Pertama penyelesaian lengkap, maka komen: .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. (2) Tiga baris terakhir adalah berkadar. Mengeluarkan garisan ke-3 dan ke-4, baris kedua berpindah ke tempat pertama. (4) ke baris kelima menambah baris ketiga yang didarabkan oleh -2. (5) Kedua-dua baris terakhir adalah berkadar dengan kelima dikeluarkan.

Akibatnya, 4 baris diperolehi. Standard lima tingkat untuk belajar sendiri: .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. Contoh 4. Contoh 6.   Cari kedudukan matriks.

. Atau: .

Seterusnya, adalah perlu untuk memulakan brutex dan mengira kanak-kanak bawah umur perintah ke-2. Sekiranya semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 adalah sifar, kedudukan matriks adalah sama dengan satu. Tetapi ia sangat tidak mungkin, lambat laun (paling kerap awal), Nenulul Mind akan bertemu : Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Harus diingat bahawa frasa "pangkat matriks" tidak akan sering bertemu dalam amalan, dan dalam kebanyakan tugas yang boleh anda lakukan tanpa itu. Tetapi ada satu tugas di mana konsep yang dipertimbangkan adalah orang utama, dan dalam kesimpulan artikel yang kita akan mempertimbangkan permohonan praktikal ini:

Bagaimana untuk menyiasat sistem persamaan linear untuk unit?

Selalunya, sebagai tambahan kepada penyelesaian Pertama penyelesaian lengkap, maka komen: .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. (2) Tiga baris terakhir adalah berkadar. Mengeluarkan garisan ke-3 dan ke-4, baris kedua berpindah ke tempat pertama. (4) ke baris kelima menambah baris ketiga yang didarabkan oleh -2. Sistem persamaan linear .

(1) baris kedua menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -2. Kepada baris ketiga menambah rentetan pertama yang didarabkan oleh -3. Dan ke HEAP: Line 1 telah ditambah ke baris ke-4 yang didarab dengan -1. Contoh 4. Dengan syarat, ia adalah pra-menyiasatnya ke dalam unit, iaitu, untuk membuktikan bahawa terdapat sebarang keputusan sama sekali. Peranan penting dalam pemeriksaan sedemikian bermain (5) Kedua-dua baris terakhir adalah berkadar dengan kelima dikeluarkan.

Caperera Capera Teorem. Saya merumuskan dalam bentuk yang diperlukan:

Seterusnya, adalah perlu untuk memulakan brutex dan mengira kanak-kanak bawah umur perintah ke-2. Sekiranya semua kanak-kanak bawah umur pesanan ke-2 adalah sifar, kedudukan matriks adalah sama dengan satu. Tetapi ia sangat tidak mungkin, lambat laun (paling kerap awal), Nenulul Mind akan bertemu : Jika pangkat Matriks sistem.

sama dengan rang

Matrix Sistem Extended.

, maka sistem itu diselaraskan, dan jika nombor ini bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, maka penyelesaiannya adalah unik.

Oleh itu, untuk mengkaji sistem untuk keserasian, anda perlu menyemak kesamarataan

di mana sahaja

Matriks sistem. 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (Ingat istilah dari pelajaran Kaedah Gauss. ), dan Matriks sistem yang diperluaskan (I.e. Matrix dengan pekali dengan pembolehubah + lajur ahli percuma). 7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: :

Segala-galanya mudah: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Contoh 7. Terokai sistem untuk seragam dan cari penyelesaiannya jika sistem diselaraskan Dan apabila sistem sudah boleh diterbalikkan - hanya dua kali ... Tidak - Triple =) : Walau bagaimanapun, perhatikan garis atas yang ketat - dengan syarat, Pertama , Ia perlu menyemak sistem untuk unit. Bagaimana untuk memulakan keputusan? Bagaimanapun 7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: :

Kami menulis matriks sistem yang diperluaskan dan dengan bantuan transformasi asas kami membawanya ke jenis langkah: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ a) Contoh No. 1 dari artikel mengenai Kaedah pengecualian yang tidak diketahui Transformasi asas tidak mengubah pangkat matriks, jadi matriks sumber yang sama sistem diperoleh akibat tindakan 7 \ end {array} \ right | = 0 $ (lihat Harta # 3 dalam topik sifat penentu). Atau ada kemungkinan untuk mengira penentu ini menggunakan Formula No. 1 Dari bahagian untuk mengira penentu pesanan kedua dan ketiga: :

dan matriks sistem lanjutan

 Matrix Sistem Extended.

Urutan maksimum orang nonzero kecil

Matriks sistem.

sama dengan tiga. Di sini, dalam satu salinan dan bertepatan, jelas, dengan penentu matriks itu sendiri:

(lihat pelajaran tentang

Добавить комментарий