Perhitungan nilai matriks menurut definisi.

Definisi tingkat matriks. Perhitungan nilai matriks menurut definisi.

Untuk bekerja dengan konsep matriks peringkat, kami akan memerlukan informasi dari topik "Aljabar Add-on dan Minors. Jenis minoritas dan penambahan aljabar." Pertama-tama, ini menyangkut istilah "matriks minor", karena pangkat matriks akan ditentukan melalui anak di bawah umur.

Peringkat matriks. Panggil urutan maksimum minornya, di antaranya setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol.

Matriks yang setara - Matriks yang barisnya berada di antara mereka sendiri.

Mari kita jelaskan lebih banyak. Misalkan di antara anak di bawah umur urutan kedua setidaknya ada satu selain nol. Dan semua anak di bawah umur, urutan yang di atas dua, adalah nol. Kesimpulan: Peringkat matriks adalah 2. Atau, misalnya, di antara anak di bawah umur urutan kesepuluh, setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol. Dan semua anak di bawah umur, urutan di atas 10 nol. Kesimpulan: Cincin matriks adalah 10.

Tingkat matriks $ A $ dilambangkan: $ \ berdering $ atau $ r (a) $. Rank Zero Matrix $ o $ dianggap nol, $ \ rang o = 0 $. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk pembentukan minor, matriks diperlukan untuk berdenyek string dan kolom - namun, untuk menghapus baris dan kolom lebih dari matriks itu sendiri yang berisi, itu tidak mungkin. Misalnya, jika $ F $ matriks memiliki ukuran $ 5 \ ½ kali $ 4 (I.E. berisi 5 baris dan 4 kolom), maka urutan maksimum minornya sama dengan empat. Anak di bawah umur urutan kelima tidak akan berhasil, karena mereka akan membutuhkan 5 kolom (dan kami hanya memiliki 4). Ini berarti bahwa peringkat $ F $ matriks tidak boleh lebih dari empat, mis. $ \ berdering f≤4 $.

Dalam bentuk yang lebih umum, hal tersebut sebelumnya berarti bahwa jika matriks berisi $ m $ baris dan $ n $ kolom, maka peringkatnya tidak dapat melebihi $ M $ dan $ N $. $ \ Berdering A≤ \ mnt (m, n) $.

Pada prinsipnya, metode menemukannya diikuti dari definisi peringkat. Proses menemukan peringkat matriks menurut definisi dapat disampaikan secara skematis:

Karena itu,

Saya akan menjelaskan skema ini secara lebih rinci. Mari kita mulai berbicara dari awal, I.E. Dari anak di bawah umur urutan pertama dari beberapa matriks $ A $.

  1. Jika semua anak di bawah umur urutan pertama (yaitu, elemen-elemen matriks $ A $) nol, maka $ \ rang A = 0 $. Jika di antara anak di bawah umur urutan pertama, setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol, maka $ \ berdering A≥ $ 1. Pergi untuk memeriksakan anak di bawah umur.
  2. Jika semua anak di bawah umur urutan kedua nol, maka $ \ berdering A = 1 $. Jika di antara anak di bawah umur urutan kedua ada setidaknya satu, tidak sama dengan nol, maka $ \ berdering A≥ $ 2. Pergi untuk memeriksa anak di bawah umur urutan ketiga.
  3. Jika semua anak di bawah umur urutan ketiga, maka $ \ berdering A = $ 2. Jika di antara anak di bawah umur urutan ketiga ada setidaknya satu, tidak sama dengan nol, maka $ \ berdering A≥ $ 3. Pergi untuk memeriksa anak di bawah umur urutan keempat.
  4. Jika semua anak di bawah umur urutan keempat, maka $ \ berdering A = $ 3. Jika di antara anak di bawah umur urutan keempat, setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol, maka $ \ berdering A≥ $ 4. Pergi untuk memeriksa anak di bawah umur urutan kelima dan sebagainya.

Apa yang menunggu kami di akhir prosedur ini? Ada kemungkinan bahwa di antara anak di bawah umur perintah K-th setidaknya ada satu selain nol, dan semua anak di bawah umur (K + 1) dari pesanan akan menjadi nol. Ini berarti bahwa K adalah urutan maksimum minoritas, di antaranya setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol, mis .. Peringkat akan sama dengan k. Mungkin ada situasi yang berbeda: di antara anak di bawah umur perintah K-th akan ada setidaknya satu yang tidak sama dengan nol, dan minor (K + 1) tidak lagi mungkin untuk membentuk prosedur. Dalam hal ini, kain matriks juga sama dengan k. Pendeknya, Urutan yang terakhir terdiri dari nonzero minor dan akan sama dengan margin matriks .

Mari kita beralih ke contoh-contoh di mana proses menemukan pangkat matriks menurut definisi akan diilustrasikan. Kami akan menekankan sekali lagi bahwa dalam contoh topik ini kami akan menemukan pangkat matriks hanya menggunakan definisi peringkat. Metode lain (perhitungan peringkat matriks dengan metode minor yang ramai, perhitungan tingkat matriks dengan metode transformasi dasar) dipertimbangkan dalam topik-topik berikut.

Ngomong-ngomong, tidak perlu memulai prosedur untuk menemukan peringkat dengan anak di bawah umur pesanan terkecil, seperti yang dilakukan dalam contoh No. 1 dan No. 2. Anda dapat segera pergi ke penambang pesanan yang lebih tinggi (lihat contoh nomor 3).

Contoh №1.

Temukan matriks peringkat $ A = \ kiri (\ begin {array} {ccccc}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ End {array} \ kanan) $.

Keputusan

Matriks ini memiliki ukuran $ 3 \ ½ kali $ 5, mis. Berisi tiga baris dan lima kolom. Dari angka 3 dan 5, minimum adalah 3, oleh karena itu pangkat matriks $ A $ tidak lebih dari 3, mis. $ \ Berdering A≤ $ 3. Dan ketidaksetaraan ini jelas, karena anak di bawah umur urutan keempat, kita tidak dapat lagi membentuk, - bagi mereka Anda membutuhkan 4 baris, dan kita hanya memiliki 3. Saya berpaling langsung ke proses menemukan peringkat matriks yang diberikan.

Di antara anak di bawah umur urutan pertama (yaitu, di antara unsur-unsur matriks $ A $) ada nol. Misalnya, 5, -3, 2, 7. Secara umum, kami tidak tertarik pada jumlah total elemen non-nol. Setidaknya ada satu item nol yang tidak sama - dan ini sudah cukup. Karena di antara anak di bawah umur orde pertama, setidaknya ada satu lagi selain nol, kami menyimpulkan bahwa $ \ berdering A≥ $ 1 dan pergi untuk memeriksa anak di bawah umur.

Mari kita mulai menyelidiki anak di bawah umur urutan kedua. Misalnya, di persimpangan garis No. 1, No. 2 dan Kolom No. 1, No. 4 adalah elemen-elemen seperti minor: $ \ kiri | \ Begin {array} {cc}

lima puluh \\

7 & 0 \ end {array} \ kanan | $. Dalam determinant ini, semua elemen kolom kedua adalah nol, oleh karena itu penentu itu sendiri adalah nol, mis .. $ \ kiri | \ Begin {array} {cc}

lima puluh \\

7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: $$.

\ kiri | \ Begin {array} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ end {array} \ kanan | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$.

Kecil pertama dari urutan kedua ternyata nol. Apa yang dikatakan? Tentang apa yang perlu terus memeriksa anak di bawah umur urutan kedua. Entah mereka semua akan nol (dan kemudian peringkat akan sama dengan 1), atau di antara mereka akan ada setidaknya satu kecil, berbeda dari nol. Mari kita coba membuat pilihan yang lebih sukses dengan menulis minor orde kedua, yang elemen-elemen yang terletak di persimpangan string No. 1, No. 2 dan Kolom No. 1 dan No. 5: $ \ kiri | \ Mulai {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ kanan | $. Temukan arti penambang urutan kedua ini:

$$.

\ kiri | \ Begin {array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ end {array} \ kanan | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

$$.

Minor ini tidak sama dengan nol. Kesimpulan: Di antara anak di bawah umur urutan kedua ada setidaknya satu selain nol. Akibatnya $ \ berdering≥ $ 2. Perlu untuk pindah ke studi anak di bawah umur urutan ketiga.

Jika kita akan memilih kolom nomor 2 atau kolom No. 4 untuk membentuk anak di bawah umur urutan ketiga, maka penambang tersebut nol (karena mereka akan berisi kolom nol). Tetap untuk memeriksa hanya satu minor dari urutan ketiga, elemen-elemen yang terletak di persimpangan kolom No. 1, No. 3, No. 5 dan Garis No. 1, No. 2, No. 3. Kami menulis minor ini dan menemukan nilainya:

$$.

7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: \ kiri | \ begin {array} {ccc}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ end {array} \ kanan | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: Jadi semua anak di bawah umur urutan ketiga adalah nol. Yang terakhir kami disusun oleh Nonzero Minor adalah urutan kedua. Kesimpulan: Urutan maksimum minoritas, di antaranya setidaknya ada satu selain nol, adalah 2. Oleh karena itu, $ \ berdering A = $ 2.

Menjawab

: $ \ Rang A = $ 2.

Contoh nomor 2.

Temukan matriks pangkat $ A = \ kiri (\ begin {array} {cccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 & 8 & -7 \ end {array} \ kanan) $. Kami memiliki matriks persegi dari urutan keempat. Perhatikan bahwa pangkat matriks ini tidak melebihi 4, mis .. $ \ Berdering A≤ $ 4. Kami akan melanjutkan untuk menemukan nilai matriks. Di antara anak-anak di bawah umur urutan pertama (yaitu, di antara elemen-elemen matriks $ A $) setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol, oleh karena itu $ ≥ $ 1. Pergi untuk memeriksakan anak di bawah umur. Misalnya, di persimpangan garis No. 2, No. 3 dan Kolom No. 1 dan No. 2 kami akan menerima pesanan kedua seperti Kecil: $ \ kiri | \ mulai {array} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ end {array} \ kanan | $. Saya menghitungnya:

$$.

\ Kiri | \ mulai {array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {array} \ kanan | = 0-10 = -10. :

$$. Di antara anak di bawah umur urutan kedua ada setidaknya satu, tidak sama dengan nol, oleh karena itu $ \ berdering A≥ $ 2. Mari kita beralih ke penambang orde ketiga. Kami akan menemukan, misalnya, minor, elemen-elemen yang terletak di persimpangan garis No. 1, No. 3, No. 4 dan Kolom No. 1, No. 2, No. 4:

$$.  \ Kiri | \ Begin {array} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ end {array} \ kanan | = 105-105 = 0. $$. Sejak order ketiga ternyata sama dengan nol, maka Anda perlu menjelajahi minor lain dari urutan ketiga. Entah semua mereka akan sama dengan nol (maka pangkat akan sama dengan 2), atau setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol di antara mereka (kemudian untuk mengeksplorasi anak di bawah umur urutan keempat). Pertimbangkan minor dari urutan ketiga, elemen-elemen yang terletak di persimpangan garis No. 2, No. 3, No. 4 dan Kolom No. 2, No. 3, №4: $$. \ Kiri | \ Begin {array} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ end {array} \ kanan | = -28. $$. Di antara anak di bawah umur urutan ketiga, setidaknya ada satu selain nol, oleh karena itu $ \ berdering A≥ $ 3. Pergi untuk memeriksa anak di bawah umur urutan keempat. Setiap minor dari urutan keempat terletak di persimpangan empat baris dan empat kolom dari $ A $ matriks. Dengan kata lain, minor dari urutan keempat adalah pengidentifikasi matriks $ A $, karena matriks ini hanya berisi 4 baris dan 4 kolom. Penentu matriks ini dihitung dalam Contoh No. 2 dari topik "Turunkan urutan penentu. Dekomposisi determinan pada string (kolom)", jadi kami hanya mengambil hasil jadi:

$$. \ Kiri | \ Begin {array} {cccc} -1 & 3 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 & 8 & -7 \ \ end {array} \ kanan | = 86.

$$. Jadi, minor dari urutan keempat tidak sama dengan nol. Anak di bawah umur urutan kelima tidak bisa lagi. Kesimpulan: Urutan tertinggi minoritas, di antaranya setidaknya ada satu yang berbeda dari nol, adalah 4. Hasil: $ \ rang A = $ 4. : $ \ Berdering A = $ 4. Contoh nomor 3. Temukan matriks pangkat $ A = \ kiri (\ begin {array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$. 7 & -4 & 0 & -5 \ \ end {array} \ kanan) $. Perhatikan bahwa matriks ini berisi 3 baris dan 4 kolom, oleh karena itu $ \ berdering A≤ $ 3. Dalam contoh sebelumnya, kami memulai proses menemukan peringkat dari pertimbangan anak di bawah umur pesanan terkecil (pertama). Di sini kita akan mencoba untuk segera memeriksa anak di bawah umur urutan maksimum yang mungkin. Untuk $ A $ matriks, anak di bawah umur ketiga. Pertimbangkan minor dari urutan ketiga, elemen-elemen yang terletak di persimpangan garis No. 1, No. 2, No. 3 dan Kolom No. 2, No. 3, No. 4: $$. \ Kiri | \ Begin {array} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ \ end {array} \ kanan | = -8-60-20 = -88. $$. Jadi, urutan dana tertinggi, di antaranya setidaknya ada satu, tidak sama dengan nol, adalah 3. Oleh karena itu, tingkat matriks adalah 3, mis .. $ \ Berdering A = $ 3. : $ \ Berdering A = $ 3. Secara umum, menemukan peringkat matriks menurut definisi - dalam kasus umum, tugasnya cukup memakan waktu. Misalnya, matriks sejumlah kecil $ 5 \ Times $ 4 $ memiliki 60 anak di bawah umur kedua. Dan jika bahkan 59 dari mereka akan nol, maka minor ke-60 bisa bukan nol. Maka Anda harus menjelajahi anak di bawah umur urutan ketiga, yang memiliki matriks ini memiliki 40 buah. Biasanya mereka berusaha menggunakan cara yang kurang besar, seperti metode pemfokusan penambang atau metode transformasi yang setara. .

Bagaimana cara menemukan pangkat matriks? Pengetahuan tentang nilai matriks akan meningkatkan peringkat Anda =) Dalam pelajaran hari ini, kita akan berkenalan dengan konsep peringkat Matriks aljabar , pelajari cara menemukan pangkat matriks Metode dana yang membosankan Oleh gauss.

, serta mempertimbangkan topik aplikasi praktis yang penting: Studi sistem persamaan linear untuk kompatibilitas Apa pangkat matriksnya?

Ejigraf lucu dari artikel ini mengandung sebagian besar kebenaran. Kata "peringkat" itu sendiri biasanya dikaitkan dengan beberapa hierarki, paling sering, dengan tangga layanan. Semakin besar pengetahuan, pengalaman, kemampuan, stay, dll. - Semakin tinggi posisinya dan berbagai kemungkinan. Saya diungkapkan oleh pemuda, di bawah pangkat menyiratkan tingkat "kecuraman" secara umum. Dan saudara-saudara matematika kita hidup sesuai dengan prinsip yang sama. Saya akan membawa beberapa arbitrer untuk berjalan-jalan Nol matriks. Pikirkan jika dalam matriks Beberapa nol.

Peringkat apa yang bisa kita bicarakan? Semua orang terbiasa dengan ekspresi informal "nol penuh". Dalam masyarakat, matriks semuanya sama:

Peringkat Zero Matrix. Ukuran apa pun adalah nol Catatan .

-1 & 3 & -3 \\ : Matriks nol diindikasikan oleh huruf Yunani "theta"

Untuk lebih memahami pangkat matriks di sini dan kemudian saya akan menarik bahan untuk penyelamatan :

Geometri analitik

. Pertimbangkan nol Pengetahuan tentang nilai matriks akan meningkatkan peringkat Anda =) vektor. ruang tiga dimensi kami yang tidak menentukan arah tertentu dan tidak berguna untuk membangun basis affine.

. Dari sudut pandang aljabar, koordinat vektor ini dicatat dalam Matriks "Satu hingga tiga" dan logis (dalam arti geometris yang ditentukan) Perlu bahwa pangkat matriks ini adalah nol. Sekarang pertimbangkan beberapa

Nenulevoy. Vektor kolom. String vektor.

Dalam setiap instance setidaknya ada satu elemen bukan nol, dan ini sudah sesuatu!

Bagaimana cara menemukan pangkat matriks? Pengetahuan tentang nilai matriks akan meningkatkan peringkat Anda =) vektor. Peringkat dari string vektor non-nol (vektor kolom) sama dengan satu Dan secara umum - Jika dalam matriks Ukuran sewenang-wenang

Setidaknya ada satu elemen bukan nol, maka peringkatnya tidak kurang Unit .

String vektor aljabar dan vektor kolom abstrak abstrak, jadi kami akan kembali ke asosiasi geometris. Nenuleva.

Menentukan arah yang sepenuhnya ditentukan dalam ruang dan cocok untuk konstruksi. : Dasar , jadi peringkat matriks Kami akan mempertimbangkan unit yang sama. Sertifikat teoritis

: Dalam aljabar linear, vektor adalah elemen ruang vektor (didefinisikan melalui 8 aksioma), yang, khususnya, dapat berupa string yang dipesan (atau kolom) angka yang valid dengan operasi yang pasti untuk mereka dan multiplikasi pada nomor yang valid

. Informasi lebih lanjut tentang vektor dapat ditemukan di artikel. Transformasi linear. Pertimbangkan matriks yang garisnya .

tergantung linear.

(diekspresikan satu sama lain). Dari sudut pandang geometris, koordinat vektor collinear dicatat dalam string kedua. yang tidak memajukan kasus dalam membangun Basis tiga dimensi Menjadi kelebihan dalam arti ini. Dengan demikian, pangkat matriks ini juga sama dengan satu. Kami menulis ulang koordinat vektor di kolom (

Transposisi matriks. ): Apa yang telah berubah dari sudut pandang peringkat? Tidak ada. Kolom proporsional, itu berarti bahwa peringkat sama dengan satu. By the way, perhatikan bahwa ketiga garis juga proporsional. Mereka dapat diidentifikasi dengan koordinat Tiga vektor bidang collinear dari mana hanya satu Ini berguna untuk membangun basis "datar". Dan ini sepenuhnya konsisten dengan rasa peringkat geometris kami. Contoh di atas mengikuti pernyataan penting: Pangkat matriks pada baris sama dengan nilai kolom .

. Saya sudah menyebutkan ini sedikit tentang pelajaran tentang efektif

Metode untuk menghitung determinan : Dari ketergantungan linier dari string mengikuti ketergantungan linear kolom (dan sebaliknya). Tetapi untuk menghemat waktu, dan karena kebiasaan, saya hampir selalu berbicara tentang ketergantungan linear dari garis. Terus melatih hewan peliharaan favorit kami. Tambahkan ke matriks koordinat baris ketiga dari vektor collinear lain Apakah dia membantu membangun basis tiga dimensi? Tentu saja tidak. Ketiga vektor berjalan di sana dan di sini di satu lagu, dan pangkat matriks sama dengan satu. Anda dapat mengambil berapa banyak vektor collinear, katakanlah, 100, menempatkan koordinat mereka dalam matriks "seratus per satu" dan pangkat gedung pencakar langit seperti itu masih akan tetap satu. Berkenalan dengan matriks secara linear independen . Sepasang vektor nonumblline

Cocok untuk membangun basis tiga dimensi. Peringkat matriks ini adalah dua. Dan apa pangkat matriks ? Baris tampaknya tidak proporsional ..., itu berarti, dalam gagasan tiga. Namun, pangkat matriks ini juga sama dengan dua. Saya melipat dua baris pertama dan merekam hasil di bawah ini, yaitu Diungkapkan secara linear Baris ketiga melalui dua yang pertama. String matriks geometris sesuai dengan tiga koordinat Vektor komplian .

Bekerja dalam triple ini ada sepasang kawan-kawan non -lyline.

Seperti yang terlihat

Kecanduan linear. Di matriks yang dianggap tidak jelas, dan hari ini kita hanya akan belajar untuk menariknya "pada air bersih."

Saya pikir banyak yang menebak berapa pangkat matriks! . Vektor. Untuk m .

Affine basis. , dan pangkat matriks ini adalah tiga. Seperti yang Anda ketahui, setiap keempat, kelima, vektor ruang tiga dimensi akan diekspresikan secara linear melalui vektor dasar. Karena itu, jika dalam matriks Tambahkan jumlah baris, lalu peringkatnya Itu masih akan tiga

Argumen serupa dapat dilakukan untuk matriks berukuran besar (jelas, tanpa makna geometris). Definisi Peringkat matriks adalah jumlah maksimum garis independen linier .

. Atau: Peringkat matriks adalah jumlah maksimum kolom independen linier .

. Ya, nomor mereka selalu bertepatan.

Dari hal tersebut di atas, tengara praktis penting juga:

Peringkat matriks tidak melebihi dimensi minimumnya

. Misalnya, dalam matriks

Empat baris dan lima kolom. Dimensi minimum adalah empat, oleh karena itu, peringkat matriks ini tidak melebihi 4.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Designations.

: Dalam teori dan praktik dunia tidak ada standar yang diterima secara umum untuk penunjukan tingkat matriks, paling sering Anda dapat bertemu:

- Seperti yang mereka katakan, orang Inggris menulis satu, orang Jerman lainnya. Karena itu, mari kita lakukan anekdot terkenal tentang neraka Amerika dan Rusia untuk menunjuk pangkat matriks dengan kata asli. Contohnya: . Dan jika matriks "tanpa nama", Koim bertemu banyak, maka Anda bisa merekam .

Bagaimana cara menemukan pangkat matriks dengan bantuan minoritas? Pada kelas O. .

Perhitungan determinan :

dan tinggal Reverse Matrix. Kami telah bertemu anak di bawah umur urutan kedua, diperoleh dengan bereksperimen pada baris dan kolom dalam matriks "tiga tiga". Sekarang kami akan memperluas konsep minor dan memberikan definisi ... jangan desah begitu keras, di sini dengan gambar =) Minor

, , .

persegi panjang

Matriks disebut

determinan .

terdiri dari angka yang ada di persimpangan berbagai , baris dan berbeda :

kolom matriks. Jumlah

Panggilan

Memesan minra.  

Perhatikan bahwa matriks itu sendiri tidak diwajibkan menjadi persegi. Pertimbangkan contoh spesifik:

Bagaimana cara mendapatkan minor dari urutan ke-2? Anda perlu memilih dua garis arbitrer, misalnya,

2 dan 4. dan tinggal , dua kolom sewenang-wenang, misalnya, 3 dan 5. , dan angka-angka di persimpangan mereka Tulis di bawah umur urutan kedua: . Berapa anak di bawah umur urutan ke-2? Banyak. Ada rumus kombinasi khusus untuk menghitung jumlah minoritas, tetapi dalam kerangka pelajaran ini, ini adalah informasi rendah. .

Kami mendapatkan minor dari urutan ketiga. Kami mempertimbangkan tiga jalur sewenang-wenang, misalnya, 1, 3 dan 4

, tiga kolom sewenang-wenang, misalnya, 1, 2 dan 4 dan dari persimpangan mereka "Hapus" pesanan ke-3 minor: Adapun anak di bawah umur urutan ke-4, maka pilihannya sudah kecil: perlu untuk menggunakan semua 4 baris dan empat kolom sewenang-wenang, misalnya, semua kolom, dengan pengecualian ke-3: )

Algoritma untuk menemukan matriks kelas dengan bantuan minor Sebagai contoh, ambil matriks yang sama . Karena matriks memiliki elemen bukan nol, maka peringkatnya tidak kurang dari satu dan, jelas bahwa itu tidak melebihi 4. cara bertindak selanjutnya?

Selanjutnya, perlu untuk memulai brutex dan menghitung anak di bawah umur urutan ke-2. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-2 nol, peringkat matriks sama dengan satu. Tapi itu sangat tidak mungkin, cepat atau lambat (paling sering dini), pikiran Nenulul akan bertemu , dan fakta ini berarti bahwa pangkat matriks .

Tidak kurang dari dua Pada langkah berikutnya, kami secara konsisten bersumpah dan menghitung anak di bawah umur urutan ke-3. Jika semua penambang ini nol, maka . Jika Mindor bertemu

, kami menyimpulkan bahwa pangkat matriks

setidaknya tiga

Dan pergi ke langkah berikutnya.

Empat baris dan lima kolom. Dimensi minimum adalah empat, oleh karena itu, peringkat matriks ini tidak melebihi 4.

Payudara dan menghitung minoritas urutan ke-4. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-4 sama dengan nol, maka

Jika saya bertemu minor T. Jadi, :

Peringkat matriks sama dengan urutan maksimum nonzero minor Skema "lob di dahi" sering dikritik, tetapi cukup aneh, dalam banyak kasus itu memberikan hasil yang baik. Namun, harus dicatat durasi proses dan untuk mengurangi jumlah perhitungan, yang dikembangkan: Metode minoritas yang ramai .

Algoritma pada umumnya, saya khawatir akan ada sedikit yang harus dipahami, jauh lebih mudah untuk membongkarnya pada tugas tertentu:

Contoh 1.

Temukan kain dari matriks dengan metode anak di bawah umur yang ramai

: Dana Square Matrix "Four Four" dan, tentu saja, peringkatnya tidak lebih dari empat. 9 & 7 & 8 & -7 \ end {array} \ kanan) $. Kami mengenakan biaya:

Karena matriks memiliki elemen bukan nol, maka peringkatnya

Tidak kurang unit

Memeriksa anak di bawah umur urutan ke-2 mulai dengan yang disebut

Sudut minor. , jadi pergi ke minor , Jadi, matriks peringkat

Tidak kurang dari dua . Apa yang harus dilakukan jika minor ini ternyata nol? Dalam hal ini, kami menganggap minor

, dan jika itu juga nol, kita melangkah lebih jauh:

Jika perlu (ketika ada Sendekan Zeros), pencarian Minor harus dilanjutkan dengan skema serupa: 1 baris ke-3;

Baris ke-1 dan ke-4; Garis ke-2 dan ke-3; Garis ke-2 dan ke-4; Garis ke-3 dan ke-4 - sampai anak di bawah umur, berbeda dari nol. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-2 ternyata nol, maka Tetapi dalam kasus kami, pada langkah kedua, minor "baik" ditemukan, dan sekarang kami pergi ke pertimbangan anak di bawah umur urutan ketiga. Temukan kaki dengan kolega yang lebih muda

yang akan dimasukkan dalam semua pesanan tertinggi yang dimaksud Pertanyaan "Ketiga kan?" Itu dapat ditujukan ke Kamerad Merah atau Hijau: :

Akan menjadi kolom kelima - teman lain akan ditemukan.

Mari kita mulai dengan yang merah:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Tidak membantu. Sekarang mengerti keserakahan:

Juga buruk. Rasakan kaki di bawah dan ambil secara konsisten dalam angka "roll" dan "cokelat": Pertama, "biru" dengan "raspberry": setidaknya tiga

. Jika minor ini ternyata nol, maka perlu untuk menghitung penentu dari angka "biru" dan "cokelat". Anak di bawah umur ketiga dari urutan ke-3, yang berisi minor nol termuda - Bukannya

. Dan jika "biru-coklat" ditentukan juga memakan bagel, lalu

Anak-anak di bawah umur urutan ke-3 sebenarnya lebih, dan metode yang sedang dipertimbangkan dalam hal ini memungkinkan Anda untuk mengurangi perhitungan, maksimum, hingga empat faktor penentu. Keberhasilan kami sedang menunggu langkah ke-3, dan "baik" minor nonzero

Sepatu yang mengeras:

Sekarang kolom "biru" dan "raspberry"

harus memasukkan semua anak di bawah umur dari pesanan tertinggi

7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: :

. Dalam hal ini, ini adalah satu-satunya ordo ke-4, yang bertepatan dengan penentu matriks:

(Karena garis ke-2 dan ke-3 proporsional - lihat

Sifat determinan

Jika W. Grandmas. Kami berada di matriks ada kolom kelima, perlu untuk menghitung minor lain dari urutan ke-4 ("biru", "raspberry" + kolom 5).

Keluaran

: Urutan maksimum nonzero minraul adalah tiga, itu berarti itu

Mungkin tidak semua sampai akhir dipahami oleh frasa ini: minor dari urutan ke-4 adalah nol, tetapi di antara anak di bawah umur urutan ke-3 ditemukan bukan nol - oleh karena itu urutan maksimum

Non-nol.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Minor dan setara dengan tiga.

Pertanyaan muncul, dan mengapa tidak menghitung determinan segera? Nah, pertama, dalam banyak tugas, matriks tidak persegi, tetapi kedua, bahkan jika Anda memiliki nilai yang tidak nol, tugas dengan probabilitas tinggi mengambil, karena biasanya menyiratkan solusi "bottom up" standar. Dan dalam contoh yang dianggap, nol penentu urutan ke-4 dan sama sekali menunjukkan bahwa kain dari matriks hanya kurang dari empat.

Saya harus mengaku, tugas yang dibongkar saya datang dengan diri saya untuk lebih menjelaskan metode anak di bawah umur yang ramai. Dalam praktik nyata, semuanya lebih mudah:

Contoh 2.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Kapan algoritma bekerja lebih cepat? Mari kita kembali ke matriks "empat empat" yang sama

. Jelas, keputusan akan menjadi yang terpendek dalam kasus "baik"

Sudut minoritas

7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: :

Dan jika

T.

, jika tidak -

Refleksi sama sekali tidak hipotesis - ada banyak contoh di mana semuanya dibatasi hanya oleh penambang sudut.

Namun, dalam beberapa kasus, metode lain lebih efisien:

Bagaimana cara menemukan pangkat matriks menggunakan metode Gauss?

Paragraf dirancang untuk pembaca yang sudah terbiasa dengan Dan sedikit tangan di atasnya. Dari sudut pandang teknis, metode ini tidak dibedakan oleh kebaruan: 1) Dengan bantuan transformasi dasar, kami memberikan matriks ke jenis langkah; 2) Kain matriks sama dengan jumlah baris.

Jelas itu Menggunakan metode Gauss tidak mengubah nilai matriks , dan esensinya di sini sangat sederhana: menurut algoritma, selama transformasi dasar, semua garis ekstra proporsional (bergantung linear) terdeteksi dan dihapus, sebagai akibatnya "residu kering" tetap - jumlah maksimum linearly Garis independen. Kami mengubah matriks lama yang akrab dengan koordinat dari tiga vektor collinear: (1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan baris pertama.

(2) nol string hapus. Dengan demikian, satu baris tetap, oleh karena itu,  – . Apa yang harus dikatakan jauh lebih cepat daripada menghitung sembilan anak di bawah umur urutan ke-2 dan baru kemudian menyimpulkan. Saya mengingatkan Anda itu sendiri Matriks aljabar Tidak mungkin untuk mengubah apa pun, dan transformasi dilakukan hanya untuk mengklarifikasi peringkat! Ngomong-ngomong, mari kita berhenti lagi pada pertanyaan, mengapa tidak? Sumber matriks.  – Membawa informasi yang pada dasarnya berbeda dari informasi matriks dan string.

. Dalam beberapa model matematika (tanpa berlebihan), perbedaan dalam satu angka mungkin merupakan masalah hidup dan mati. ... Saya ingat guru-guru sekolah dari matematika kelas primer dan menengah, yang dengan kejam memotong estimasi untuk 1-2 poin untuk ketidakakuratan atau penyimpangan sekecil apa pun dari algoritma. Dan itu sangat menghina ketika, sebaliknya, tampaknya dijamin "lima", "baik" atau lebih buruk. Pemahaman datang jauh kemudian - dan bagaimana sebaliknya, untuk mempercayakan satelit orang, hulu ledak nuklir dan pembangkit listrik? Tetapi Anda tidak khawatir, saya tidak bekerja di bidang ini =)

Mari kita beralih ke tugas yang lebih informatif di mana, antara lain, kita akan berkenalan dengan teknik komputasi yang penting.

Metode Gauss.

Contoh 3.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Temukan peringkat matriks menggunakan transformasi dasar : Dana Matrix "Four Five", yang berarti bahwa peringkatnya jelas tidak lebih dari 4. Di kolom pertama, tidak ada 1 atau -1, oleh karena itu, diperlukan langkah-langkah tambahan untuk menerima setidaknya satu unit. Dalam semua waktu situs, saya telah berulang kali mengajukan pertanyaan: "Apakah mungkin untuk mengatur ulang kolom selama transformasi dasar?". Di sini - mengatur ulang kolom kedua pertama, dan semuanya baik-baik saja! Dalam sebagian besar tugas di mana digunakan Metode Gauss. , kolom dapat benar-benar mengatur ulang. Tapi tidak perlu. Dan intinya bahkan tidak mungkin terjadi dalam kebingungan dengan variabel, faktanya adalah bahwa dalam kursus klasik pelatihan matematika yang lebih tinggi, tindakan ini secara tradisional tidak dipertimbangkan, oleh karena itu akan sangat bengkok pada pembenalan seperti itu (dan kemudian akan terjadi. memaksa segalanya).

Poin kedua menyangkut angka. Selama keputusan itu berguna untuk dipandu oleh aturan empiris berikut: Transformasi elementer dapat dikurangi dengan angka matriks jika memungkinkan. :

. Lagi pula, dengan unit-dua-tiga, jauh lebih mudah untuk bekerja lebih mudah daripada, misalnya, dari 23, 45 dan 97. Dan tindakan pertama diarahkan tidak hanya untuk mendapatkan unit di kolom pertama, tetapi juga untuk menghilangkan angka 7 dan 11. Pertama solusi lengkap, maka komentar: .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. (2) Tiga garis terakhir proporsional. Menghapus garis ke-3 dan ke-4, baris kedua dipindahkan ke tempat pertama. (3) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -3.  Dalam matriks dua garis yang diberikan ke panggung. Catatan )

Sekarang giliran Anda adalah untuk menyiksa matriks empat-empat: .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. Contoh 4. Temukan matriks RERS oleh Gauss  Saya mengingatkan Anda bahwa

. Atau: .

Selanjutnya, perlu untuk memulai brutex dan menghitung anak di bawah umur urutan ke-2. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-2 nol, peringkat matriks sama dengan satu. Tapi itu sangat tidak mungkin, cepat atau lambat (paling sering dini), pikiran Nenulul akan bertemu : Metode Gauss. Tidak menganggap kekakuan yang tidak ambigu, dan keputusan Anda cenderung berbeda dari keputusan saya. Tugas desain sampel singkat di akhir pelajaran.

Metode apa yang digunakan untuk menemukan nilai matriks? Pertanyaan "Ketiga kan?" Itu dapat ditujukan ke Kamerad Merah atau Hijau: Dalam praktiknya, seringkali tidak dikatakan sama sekali metode mana yang harus digunakan untuk menemukan peringkat. Dalam situasi seperti itu, kondisinya harus dianalisis - untuk beberapa matriks, lebih rasional untuk melakukan solusi melalui anak di bawah umur, dan bagi yang lain secara signifikan lebih menguntungkan untuk menerapkan transformasi dasar: Contoh 5. Cari Pangkat Matrix. : Cara pertama entah bagaimana segera menghilang =) Tepat di atas, saya menyarankan untuk tidak menyentuh kolom matriks, tetapi ketika ada kolom nol, atau kolom proporsional / bertepatan, maka masih layak melakukan amputasi:

(1) Kolom Nol kelima, lepaskan dari matriks. Dengan demikian, pangkat matriks tidak lebih dari empat. Baris pertama dikalikan dengan -1. Ini adalah metode Gauss bermerek lain, yang mengubah efek berikut dalam perjalanan yang menyenangkan: (2) Untuk semua baris, dimulai dengan yang kedua, tambahkan string pertama. :

(3) Baris pertama dikalikan dengan -1, baris ketiga dibagi menjadi 2, baris keempat dibagi menjadi 3. Ke baris kelima menambahkan string kedua dikalikan dengan -1. Pertama solusi lengkap, maka komentar: .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. (2) Tiga garis terakhir proporsional. Menghapus garis ke-3 dan ke-4, baris kedua dipindahkan ke tempat pertama. (4) Ke baris kelima menambahkan baris ketiga dikalikan dengan -2. (5) dua garis terakhir sebanding dengan kelima dihapus.

Akibatnya, 4 baris diperoleh. Standar lima lantai untuk belajar mandiri: .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. Contoh 4. Contoh 6.   Cari Pangkat Matrix.

. Atau: .

Selanjutnya, perlu untuk memulai brutex dan menghitung anak di bawah umur urutan ke-2. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-2 nol, peringkat matriks sama dengan satu. Tapi itu sangat tidak mungkin, cepat atau lambat (paling sering dini), pikiran Nenulul akan bertemu : Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa frasa "peringkat matriks" tidak akan begitu sering bertemu dalam praktik, dan dalam banyak tugas yang dapat Anda lakukan tanpanya. Tetapi ada satu tugas di mana konsep yang dipertimbangkan adalah orang utama, dan pada akhir artikel kami akan mempertimbangkan aplikasi praktis ini:

Bagaimana cara menyelidiki sistem persamaan linear untuk unit?

Seringkali, selain solusinya Pertama solusi lengkap, maka komentar: .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. (2) Tiga garis terakhir proporsional. Menghapus garis ke-3 dan ke-4, baris kedua dipindahkan ke tempat pertama. (4) Ke baris kelima menambahkan baris ketiga dikalikan dengan -2. Sistem persamaan linear .

(1) Baris kedua menambahkan string pertama dikalikan dengan -2. Ke baris ketiga menambahkan string pertama dikalikan dengan -3. Dan untuk menumpuk: Baris pertama ditambahkan ke baris ke-4 dikalikan dengan -1. Contoh 4. Dengan kondisi, ini sudah menyelidiki itu ke dalam unit, yaitu membuktikan bahwa ada keputusan sama sekali. Peran kunci dalam permainan inspeksi seperti itu (5) dua garis terakhir sebanding dengan kelima dihapus.

Teorema Caperera Capera Saya merumuskan dalam bentuk yang diperlukan:

Selanjutnya, perlu untuk memulai brutex dan menghitung anak di bawah umur urutan ke-2. Jika semua anak di bawah umur urutan ke-2 nol, peringkat matriks sama dengan satu. Tapi itu sangat tidak mungkin, cepat atau lambat (paling sering dini), pikiran Nenulul akan bertemu : Jika peringkat Matriks sistem

sama dengan Rang.

Matriks sistem diperpanjang.

, maka sistem dikoordinasikan, dan jika angka ini bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, maka larutannya unik.

Dengan demikian, untuk mempelajari sistem untuk kompatibilitas, Anda perlu memeriksa kesetaraan

dimana

Sistem Matriks 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (ingat terminologi dari pelajaran Metode Gauss. ), dan Matriks sistem yang diperluas (I.E. matriks dengan koefisien dengan variabel + kolom anggota gratis). 7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: :

Semuanya sederhana: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Contoh 7. Jelajahi sistem untuk seragam dan temukan solusinya jika sistem dikoordinasikan Dan ketika sistem sudah reversibel - hanya dua kali lipat ... tidak - triple =) : Namun demikian, perhatikan line - demi kondisi ketat, pertama , Diperlukan untuk memeriksa sistem untuk unit. Bagaimana cara memulai keputusan? Bagaimanapun 7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: :

Kami menuliskan matriks sistem yang diperluas dan dengan bantuan transformasi elementer kami membawanya ke langkah langkah: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ a) Contoh No. 1 dari artikel tentang Metode eksklusi yang tidak diketahui Transformasi dasar tidak mengubah peringkat matriks, sehingga matriks sumber yang setara dari sistem diperoleh sebagai akibat dari tindakan 7 \ end {array} \ kanan | = 0 $ (lihat properti # 3 dalam topik sifat-sifat determinan). Atau dimungkinkan untuk menghitung determinan ini dengan benar menggunakan Formula No. 1 dari bagian menghitung faktor penentu urutan kedua dan ketiga: :

dan matriks sistem yang diperluas

 Matriks sistem diperpanjang

Urutan maksimum nonzero minor

Matriks sistem

sama dengan tiga. Di sini, dalam satu salinan dan bertepatan, jelas, dengan penentu matriks itu sendiri:

(lihat pelajaran tentang

Добавить комментарий