A mátrix fokozatának meghatározásával történő kiszámítása.

A mátrix fokozatának meghatározása. A mátrix fokozatának meghatározásával történő kiszámítása.

A Rank Matrix koncepciójával dolgozni kell az "Algebrai kiegészítők és kiskorúak" témákból. A kisebbségek és az algebrai kiegészítések típusai. Először is, ez a "kisebb mátrix" kifejezésre vonatkozik, mivel a mátrix rangja a kiskorúakon keresztül kerül meghatározásra.

Rangos mátrix Hívja a kiskorú maximális sorrendjét, amelyek közül legalább egy, nem egyenlő nulla.

Egyenértékű mátrixok - Mátrixok, akiknek rangja egymás között van.

Mondjuk el többet. Tegyük fel, hogy a második sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy nulla. És minden kiskorú, amelynek sorrendje két felett van, nulla. Következtetés: A mátrix rangja 2. vagy például a tizedik sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, nem egyenlő nulla. És az összes kiskorú, amelynek sorrendje 10 felett nulla. Következtetés: A mátrix gyűrűje 10.

A $ A $ A $ Matrix fokozatát jelöljük: $ \ csengett egy $ vagy $ r (a) $. Rang Zero Matrix $ O $ Nulla, $ \ rang o = 0 $. Hadd emlékeztessem önöket, hogy megalakult a kisebb, a mátrix köteles tweer a húrok és oszlopok - azonban törölni a sorok és oszlopok több mint maga a mátrix tartalmazza, ez lehetetlen. Például, ha a $ F $ mátrix mérete $ 5 \ Times $ 4 (azaz tartalmaz 5 vonalak és 4 oszlopot), akkor a maximális sorrendben annak csekély egyenlő négy. Az ötödik rendű kiskorúak nem fognak sikeresek, mivel 5 oszlopot igényelnek (és csak 4). Ez azt jelenti, hogy a $ F $ mátrix rangja nem lehet több, mint négy, vagyis $ \ rang f≤4 $.

Általánosabb formában az előzőek azt jelenti, hogy ha a mátrix $ M $ sorokat és $ n $ oszlopokat tartalmaz, akkor a rangja nem haladhatja meg a legkisebb $ M $ és $ N $ -t. $ \ Rang A≤ \ min (m, n) $.

Elvben a megállapítás módját a rangsor meghatározásából követik. A mátrix rangsorolásának meghatározásának folyamata vázlatosan benyújtható:

Következésképpen,

Részletesebben megmagyarázom ezt a rendszert. Kezdjük beszélni a kezdetektől, azaz A kiskorúak közül néhány mátrix $ A $ $.

  1. Ha az első sorrendű kiskorú (azaz a $ A $ a $ egy $ elemei) nulla, akkor $ \ rang A = 0 $. Ha az első sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, nem egyenlő nulla, akkor $ \ rang egy ≥ $ 1. Menj a második rendeléskorlátok ellenőrzéséhez.
  2. Ha a második rend minden kiskorú nulla, akkor $ \ rang A = 1 $. Ha a második sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, nem egyenlő nulla, akkor $ \ rang egy ≥ $ 2. Ugrás a harmadik rendű kiskorúak ellenőrzésére.
  3. Ha az összes harmadik rendes kiskorú nulla, akkor $ \ rang A = $ 2. Ha a harmadik sorrendben lévő kiskorúak közé tartoznak, legalább egy, nem egyenlő nulla, akkor $ \ csengett egy $ 3. Menjen a negyedik sorrendben lévő kiskorúak ellenőrzéséhez.
  4. Ha az összes negyedik megrendelés kiskorú nulla, akkor $ \ rang A = $ 3. Ha a negyedik sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, nem egyenlő nulla, akkor $ \ csengett egy ≥ $ 4. Ugrás az ötödik sorrendben lévő kiskorúak ellenőrzésére, és így tovább.

Mi vár ránk az eljárás végén? Lehetséges, hogy a K-TH által kínált kiskorúak közül legalább egy nulla, és a megrendelés összes kiskorú (K + 1) nulla lesz. Ez azt jelenti, hogy a K a kisebbek maximális sorrendje, amelyek közül legalább egy, nem egyenlő nulla, azaz. A rang egyenlő K-vel. Lehet, hogy egy másik helyzet: a K-th-es aknák kiskorúsága közül legalább egy nem egyenlő nulla, és a kisebb (K + 1) már nem lehetséges az eljárás létrehozása. Ebben az esetben a mátrix rongya is egyenlő K. Röviden, A nonzero kicsiből álló utolsó sorrendje, és megegyezik a mátrix margójával .

Forduljunk azokra a példákra, amelyekben a mátrix definíció szerinti rangsorolásának folyamatát szemléltetjük. Újra hangsúlyozzuk, hogy a téma példáiban megtaláljuk a mátrixok rangját, csak a rangsor definícióját felhasználva. Más módszerek (a mátrix rangjának kiszámítása a nyüzsgő kiskorú módszerrel, a mátrix értékének kiszámítása az elemi transzformációk módszerével) a következő témákban van figyelembe véve.

By the way, nem szükséges megkezdeni az eljárást, hogy megtalálja a rangot a kiskorúak a kiskorúak a legkisebb sorrendben, ahogy az 1. és 2. példa szerint történt. A magasabb megrendelések bányászaira haladhat (lásd a 3. példát).

Példa №1

Keresse meg a RAND MATRIX $ A = \ BATTER (KIND {Array} {CCCCC}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 és 1

Vége {tömb} \ jobbra) $.

Döntés

Ez a mátrix mérete 3 $ 5 $ 5, vagyis Három vonalat és öt oszlopot tartalmaz. A 3. és 5. szám közül a minimum 3, ezért a $ egy $ a $ a $ 3, azaz. $ \ Rang A <$ 3. És ez az egyenlőtlenség nyilvánvaló, hiszen a kiskorúak a negyedik rend, már nem tudunk formában - nekik van szüksége 4 sor, és már csak 3. forduljon közvetlenül a folyamat találni rangot adott mátrix.

Az első rendű kiskorúak közül (azaz a $ A $ A $ -s elemek között) vannak nonzero. Például 5, -3, 2, 7. Általában nem érdekli a nem nulla elemek teljes számát. Legalább egy nem egyenlő nulla elem van - és ez elég. Mivel az első rendű kiskorúak közül legalább egy, a nulla, azt a következtetést vonjuk le, hogy $ \ csengett egy $ 1, és menjen a másodrendű kiskorúak ellenőrzéséhez.

Kezdjük vizsgálni a második sorrendben lévő kiskorúakat. Például az 1., 2. számú sorok metszéspontjával és az 1. számú oszlopok metszéspontjával ilyen kiskorú elemei: $ \ Left | kezdők

ötven

7 & 0 end {tömb} jobb | $. Ebben a meghatározóban a második oszlop összes eleme nulla, ezért maga a determináns nulla, azaz. $ \ lent | kezdő {tömb} {cc}

ötven

7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: $$.

\ lent | megkezdi {tömb} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ end {tömb} \ jobb | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$.

A második rend első kiskora nulla lehet. Mit mond? Arról, hogy mi kell továbbra is ellenőrizni a másodlagos kiskorúakat. Vagy mindegyike nulla lesz (és akkor a rang 1), vagy köztük legalább egy kiskorú lesz, eltérő nullától. Próbáljuk meg sikeresebb választást készíteni egy másodrendű kiskorú írásával, amelynek elemei az 1., 2. számú húrok metszéspontjában helyezkednek el, és az 1. és az 5. számú oszlopok: $ \ t {Array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 vége {tömb} \ jobb | $. Keresse meg a második sorozó bányász jelentését:

$$.

\ lent | megkezdi {tömb} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 end {tömb} jobb | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

$$.

Ez a kiskorú nem egyenlő nulla. Következtetés: A második sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, a nulla. Következésképpen $ \ csengett egy $ 2. Szükséges a harmadik rendű kiskorúak tanulmányozására.

Ha fogjuk választani egy oszlop számát 2 vagy oszlop No. 4, hogy kialakítsuk a harmadik rend kiskorúak, akkor az ilyen bányászok nulla lesz (mert tartalmaz egy nulla oszlop). Továbbra is ellenőrizni kell a harmadik sorrend egy kis apróját, amelynek elemei az 1. számú oszlopok metszéspontjában találhatók, az 5. számú, az 5. számú és az 1. számú sorban. Ezt apróra írjuk, és értéket találunk:

$$.

7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: balra | megkezdi {tömb} {ccc}

5 & ​​-3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

vége {tömb} \ jobb | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: Tehát a harmadik rend minden kiskorú nulla. Az utóbbi, amit a nonzero kiskorú, második sorrendben álltunk. Következtetés: a kisebbek maximális sorrendje, amelyek közül legalább egy, a nullától eltérő, 2. ezért $ \ rang A = $ 2.

Válasz

: $ \ Rang A = $ 2.

2. példa 2. szám.

Keresse meg a RAND MATRIX $ A = \ Bal (kezdő {tömb} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 & 8 & -7 \ end {Array} \ jobbra) $. Van egy négyzetmátrix a negyedik sorrendben. Azonnal vegye figyelembe, hogy a mátrix rangja nem haladja meg a 4, azaz. $ \ Rang A≤ $ 4. Folytatjuk a mátrix fokozatát. Között a kiskorúak az elsőrendű (azaz, elemei között a mátrix $ a $) van legalább egy, nem egyenlő nullával, ezért $ \ Rang A≥ $ 1. Menj a második rendeléskorlátok ellenőrzéséhez. Például a 2., a 3. számú sorok metszéspontjában és az 1. és a 2. számú oszlopok metszéspontjával ilyen másodrendet kapunk Minor: $ kezdő {tömb} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 end {tömb} \ jobb | $. Számítom ki:

$$.

balra | kezdő {tömb} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {tömb} \ jobb | = 0-10 = -10. :

$$. A második sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, nem egyenlő nulla, ezért $ \ csenget egy ≥ $ 2. Forduljunk a harmadik rendes bányászokhoz. Például kiskorúak, amelyek elemei az 1., a 3. számú, a 4. számú sorok metszéspontjában találhatók, 1. számú, 2. számú oszlopok.

$$.  balra | Megkezdi {tömb} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 és 7 & -7 \ end {tömb} jobb | = 105-105 = 0. $$. Mivel a harmadik megrendelés kisebb volt, hogy egyenlő legyen nulla, akkor meg kell vizsgálnia a harmadik sorrend másik kislányát. Vagy mindannyian nulla lesz (akkor a rang 2) lesz, vagy legalább egy, nem egyenlő a nulla nulla (majd a negyedik sorrend kiskorúak felfedezéséhez). Tekintsük a kisebb a harmadik rend, amelynek elemei vannak kereszteződésénél található vonalak No. 2, No. 3, No. 4 és oszlopok No. 2, No. 3, №4: $$. balra | Kezdő {tömb} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 és -7 vég {tömb} \ jobb | = -28. $$. A harmadik sorrendben lévő kiskorúak közül legalább egy, a nulla, ezért $ \ csenget egy ≥ $ 3. Menjen a negyedik sorrendben lévő kiskorúak ellenőrzéséhez. A negyedik sorrend bármely kisebbsége négy vonal metszéspontján található, és négy oszlopa a $ A $ Matrix. Más szóval, a negyedik sorrend kisebbsége a $ A $ mátrix azonosítója, mivel ez a mátrix csak 4 sort és 4 oszlopot tartalmaz. A determinánsa ezt a mátrixot kiszámított 2. számú példa a téma „Alsó a sorrendben a meghatározó. Bomlási determináns egy string (oszlop)”, így egyszerűen vegye a kész eredményt:

$$. balra | Megkezdi {tömb} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 & 8 & -7 \ end {tömb} \ jobb | = 86.

$$. Tehát a negyedik sorrend kisebbsége nem egyenlő nulla. Az ötödik rendű kiskorúak már nem tudunk formában. Következtetés: a legmagasabb kisebbségi rend, amelyek közül legalább egy különbözik a nullától, a 4. Eredmény: $ \ rang A = $ 4. : $ \ Rang A = $ 4. 3. példa 3. szám. Keresse meg a RAND MATRIX $ A = \ Bal (kezdő {tömb} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$. 7 & -4 & 0 & -5 \ End {Array} \ jobbra) $. Azonnal vegye figyelembe, hogy ez a mátrix 3 vonal és 4 oszlopos, ezért $ \ Rang A≤ $ 3. A korábbi példákban elkezdtük a legkisebb (első) megrendelés kiskorúságának megfontolásától. Itt megpróbáljuk azonnal ellenőrizni a kiskorúakat a lehető legnagyobb sorrendben. A $ A $ MATRIX esetében a harmadik rendű kiskorúak. Tekintsük a Minor a harmadik rend, amelynek elemei fekszenek a kereszteződésekben a vonalak No. 1, No. 2, No. 3 és oszlopok No. 2, No. 3, No. 4: $$. balra | Kezdő {tömb} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ end {tömb} jobb | = -8-60-20 = -88. $$. Tehát a legmagasabb pénzeszközök, amelyek közül legalább egy, nem egyenlő nulla, 3. Ezért a mátrix fokozatja 3, azaz a 3, azaz. $ \ Rang A = $ 3. : $ \ Rang A = $ 3. Általánosságban elmondható, hogy meghatározta a mátrix rangját - az általános esetben a feladat meglehetősen időigényes. Például a viszonylag kis mennyiségű $ 5 időtartamú mátrix 60 másodpercig 60 másodrendű kiskorúak. És ha még 59 közülük nulla lesz, akkor a 60. kiskorú lehet nonzero. Ezután meg kell vizsgálnia a harmadik rend kiskorúságát, amelyet ez a mátrix 40 db. Általában kevésbé nagyméretű módszereket használnak, mint például a bányászok vagy azzal egyenértékű transzformációs módszer. .

Hogyan találjuk meg a mátrix rangját? A mátrix fokozatának ismerete növeli a rangot =) A mai leckében megismerjük a rangsor fogalmát Algebrai mátrix , Ismerje meg, hogyan találja meg a mátrix rangját Az unalmas pénzeszközök módja Gauss által

, valamint fontolóra veszi a fontos gyakorlati alkalmazás témáját: A kompatibilitású lineáris egyenletek rendszerének vizsgálata Mi a mátrix rangja?

A cikk humoros epigráfja az igazság nagy részét tartalmazza. A "rang" szó általában egyes hierarchiához kapcsolódik, leggyakrabban a szolgáltatási lépcsőn. Minél nagyobb az emberi tudás, tapasztalat, képességek, blatányos tartózkodás stb. - Minél magasabb a pozíciója és a lehetőségek tartománya. A fiatalok által kifejtettem, a rang alatt a "meredekség" általános mértékét jelenti. És a matematikai testvéreink ugyanazon elvek szerint élnek. Egy kis tetszőleges séta leszek Nulla mátrixok Gondolj, ha a mátrixban Néhány nullát

Milyen rangot tudunk beszélni? Mindenki ismeri a "teljes nulla" informális kifejezést. A társadalomban a mátrixok pontosan ugyanazok:

Rank nulla mátrix Bármilyen méret nulla jegyzet .

-1 & 3 & -3 \\ : A nulla mátrixot a "theta" görög betű jelzi

Annak érdekében, hogy jobban megértsük a mátrix rangját itt, majd vonzom az anyagokat a mentésre :

Analitikai geometria

. Nullát fontolgat A mátrix fokozatának ismerete növeli a rangot =) vektor Háromdimenziós helyünk, amely nem ad meg bizonyos irányt, és haszontalan affin alap

. Algebrai szempontból a vektor koordinátáit rögzítjük Mátrix "1-3" és logikus (a megadott geometriai értelemben) Szükséges, hogy a mátrix rangja nulla. Most vegyél néhányat

Nenulevoy Oszlopvektorok Vektorok String

Minden esetben legalább egy nonzero elem van, és ez már valami!

Hogyan találjuk meg a mátrix rangját? A mátrix fokozatának ismerete növeli a rangot =) vektor A nem nulla vektoros karakterlánc (oszlopvektor) rangja egyenlő És általában beszél - Ha a mátrixban van önkényes méretek

Legalább egy nonzero elem van, akkor a rangja nem kevesebb egységek .

Az algebrai vektortartalmak és az oszlopvektorok absztrakt absztrakt, így visszafordulunk a geometriai szövetséghez. Nenuleva

Meghatározza a teljesen meghatározott irányt az űrben, és alkalmas építésre. : Ból , így a mátrix rangja Egy egyenlőséget fogunk figyelembe venni. Elméleti bizonyítvány

: A lineáris algebra, a vektor a vektor tér (meghatározott 8 axiómák), amely különösen megrendelt karakterlánc lehet (vagy oszlop) érvényes számok határozott műveletekkel számukra és az érvényes számmal kapcsolatos szorzás

. További információ a vektorokról megtalálható a cikkben. Lineáris transzformációk Tekintsük a mátrixot Kinek a sorai vannak .

lineárisan függő

(egymással kifejezve). Geometriai szempontból a kollineáris vektor koordinátáit a második karakterláncban rögzítik. aki nem haladt előre az épületben Háromdimenziós bázis Ebben az értelemben felesleg. Így a mátrix rangja is egyenlő. Átírjuk a vektorok koordinátáit az oszlopokban (

A mátrix átültetése ): Mi változott a rangsor szempontjából? Semmi. Az oszlopok arányosak, ez azt jelenti, hogy a rang egy egyenlő. By the way, vegye figyelembe, hogy mindhárom vonal is arányos. Koordinátákkal azonosíthatók Három Collinear síkvektorok, amelyekből csak egy Hasznos a "lapos" bázis kiépítéséhez. És ez teljes mértékben összhangban van geometriai rangérzékenységünkkel. A fenti példa fontos nyilatkozatot követ: A sorban lévő mátrix rangja megegyezik az oszlopok osztályaival .

. Már említettem ezt a leckét a hatékonyságról

A determináns kiszámításához szükséges módszerek : A húrok lineáris függőségétől az oszlopok lineáris függését követi (és fordítva). De hogy időt takarítson meg, és a szokás miatt szinte mindig beszélek a vonalak lineáris függőségéről. Folytassa kedvenc kisállatunkat. Add hozzá a mátrixhoz egy másik kollineáris vektor harmadik vonal koordinátájának Segített egy háromdimenziós alapon? Természetesen nem. Mindhárom vektor séta ott és itt egy pályán, és a mátrix rangja egyenlő. Meg tudod venni, hogy hány kollineáris vektorokat, azt mondják, 100, tegye a koordinátáikat az "százenként egy" mátrixban, és az ilyen felhőkarcoló rangja továbbra is egyetlen. Ismerje meg a mátrixot Lineárisan független . Egy pár nem értékes vektorok

Alkalmas háromdimenziós alapon. A mátrix rangja kettő. És mi a helyzet a mátrix ? Úgy tűnik, hogy a sorok nem arányosak ..., ez azt jelenti, hogy a három gondolat. Azonban a mátrix rangja is két. Az első két vonalat összecsuktam, és az alábbi eredményt rögzítettem, azaz Lineárisan kifejezve Harmadik sor az első kettőn keresztül. A geometrikusan mátrix húrok három koordinátát tartalmaznak Bonyolult vektorok .

Munka ebben a háromágyban Van egy pár nonolline elvtársak.

Amint látod

Lineáris függőség A figyelembe vett mátrix nem nyilvánvaló, és ma megtanuljuk, hogy visszavonja azt a "tiszta vízen".

Azt hiszem, sokan kitalálják, mi a lényege a mátrix! . Vektorok Forma .

Vonatkozás , és a mátrix rangja három. Mint tudják, a háromdimenziós tér bármely negyedik, ötödik, tizedik vektora lineárisan az alapvektorokon keresztül fejeződik ki. Ezért, ha a mátrixban Adjon hozzá semmilyen számot, majd annak rangját még mindig három lesz

Hasonló érveket lehet elvégezni a nagyméretű mátrixok számára (tiszta, geometriai jelentés nélkül). Meghatározás A mátrix rangja a lineárisan független vonalak maximális száma .

. Vagy: A mátrix rangja a lineáris független oszlopok maximális száma .

. Igen, a számuk mindig egybeesik.

A fentiek közül egy fontos gyakorlati mérföldkő is:

A mátrix rangja nem haladja meg a minimális dimenzióját

. Például a mátrixban

Négy vonal és öt oszlop. A minimális dimenzió négy, ezért a mátrix rangja nem haladja meg a 4-et.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Megnevezések

: A világelméletben és a gyakorlatban nincs általában elfogadott szabvány a mátrix fokozatának megnevezésére, leggyakrabban találkozhat:

- Ahogy azt mondják, az angol írja az egyik, a német másikat. Ezért nézzük akár a híres anekdota az amerikai és az orosz pokol, hogy kijelölje a rangot a mátrix a natív szó. Például: . És ha a "Unnamed" Matrix, Koim sokat találkozik, akkor csak rögzítheti .

Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját a kisebbebbek segítségével? O. osztályban .

A determináns kiszámítása :

és tartózkodik Fordított mátrix Már találkoztunk a kiskorúaknak a másodrendű nyert kísérletezik a sorok és oszlopok a „három három” mátrix. Most fogjuk bővíteni a fogalom Minor és adja meg a meghatározást ... nem olyan nehéz sóhaj, itt képekkel =) Kiskorú

, , .

négyszögletes

A mátrixokat hívják

döntő .

olyan számokból áll, amelyek különböző metszéspontjában vannak , sorok és különbözőek :

a mátrix oszlopai. Szám

Hívás

Minra megrendelése  

Ne feledje, hogy a mátrix maga nem köteles négyzet. Tekintsünk egy konkrét példát:

Hogyan juthatsz el a 2. sorrendben? Például két önkényes vonalat kell kiválasztania,

2. és 4. és tartózkodik , például két tetszőleges oszlop, például, 3. és 5. , és a számok a kereszteződésükön Írja be a második sorrendet: . Hány kiskorú a 2. sorrendben? Sok. A kisebbségek számának kiszámításához speciális kombinatorikus képletek vannak, de ebből a lecke keretében ez alacsonyabb információ. .

Kapunk kiskorúságot a harmadik sorrendben. Három tetszőleges vonalakat tekintünk például, 1., 3. és 4. és 4.

, például három tetszőleges oszlop, például, 1., 2. és 4. és a kereszteződésükből "Eltávolítás" Kisebb 3. sorrend: Ami a 4. sorrendű kiskorúakat illeti, akkor a választás már kicsi: mind a 4 sort és négy tetszőleges oszlopot kell használni, például az összes oszlopot, kivéve a 3. ábrát: )

Algoritmus a minőségi mátrix megtalálásához kisebb Például, vegye ugyanazt a mátrixot . Mivel a mátrix nulla elemekkel rendelkezik, akkor a rangja nem kevesebb, mint egy, és nyilvánvaló, hogy nem haladja meg a 4., hogyan kell cselekedni a következő?

Ezután meg kell kezdeni a Brutex megkezdése és a 2. sorrend kiskorúak kiszámítása. Ha a 2. sorrend összes kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő. De ez rendkívül valószínűtlen, előbb-utóbb (leggyakrabban korai), Nenulul elme találkozik , és ez a tény azt jelenti, hogy a mátrix rangja .

Nem kevesebb, mint kettő A következő lépésben következetesen megesküdtünk és kiszámítjuk a 3. sorrend kiskorúságát. Ha ezek a bányászok nulla, akkor . Ha a Mindor találkozott

, arra a következtetésre jutunk, hogy a mátrix rangja

legalább három

És menjen a következő lépéshez.

Négy vonal és öt oszlop. A minimális dimenzió négy, ezért a mátrix rangja nem haladja meg a 4-et.

A 4. sorrend kisebbségeinek kiszámítása és kiszámítása. Ha a 4. sorrend összes kiskorúsága nullával egyenlő, akkor

Ha kiskorúak T. És így, :

A mátrix rangja megegyezik a nonzero kiskorú maximális sorrendjével A "LOB a homlok" rendszerét gyakran kritizálják, de furcsán elég, sok esetben jó eredményeket ad. Mindazonáltal meg kell jegyezni a folyamat időtartamát és a számítások számának csökkentése érdekében: A nyüzsgő kisebbek módszere .

Az algoritmus általában, attól tartok, nem lesz kevés kell érteni, hogy sokkal könnyebb szétszedni azt egy konkrét feladat:

1. példa.

Keresse meg a mátrix rongyát a nyüzsgő kiskorúak módszerével

: Dana Square mátrix "Négy négy", és természetesen a rangja legfeljebb négy. 9 & 7 & 8 & -7 \ end {Array} \ jobbra) $. Feltöltjük:

Mivel a mátrixnak nincs nulla elemei, akkor a rangja

Nem kevesebb egység

A 2. sorrendben lévő kiskorúak ellenőrzése az úgynevezett

Sarok , menj kisebb , Így, rangsor mátrix

Nem kevesebb, mint kettő . Mit kell tennie, ha ez a kiskorú nulla lesz? Ebben az esetben kisebbnek tartjuk

, és ha ez is nulla, tovább megyünk:

Szükség esetén (ha egyedül nullák voltak), a kiskorú keresést hasonló rendszer folytatja: 1. és 3. sor;

1. és 4. sor; 2. és 3. sor; 2. és 4. sor; A 3. és 4. sorok - amíg a kiskorú egyszer, eltér a nullától. Ha a 2. sorrend összes kiskorúsága nulla lesz, akkor De a mi esetünkben a második lépésben a "jó" kisebb volt, és most a harmadik rendű kiskorúak figyelembevételére megyünk. Keresse meg a lábakat a fiatalabb kollégával

amely az összes legmagasabb megrendelésbe kerül Kérdés "Harmadik akarsz?" Vörös vagy zöld elvtárs címre vonatkozik: :

Lenne az ötödik oszlop - egy másik barátja megtalálható.

Kezdjük a pirossal:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Nem segített. Most értsd meg a kapzsiságot:

Rossz is. Érezze az alábbi lábakat, és következetesen vegye be a "Roll" és a "Barna" számot: Először "kék" a "málna": legalább három

. Ha ez a kiskorú nulla lehet, akkor a "kék" és a "barna" számok meghatározóinak kiszámításához szükséges lenne. A 3. sorrend más kiskorúak, amelyek a legfiatalabb nulla kiskorúakat tartalmazzák - nem

. És ha a "kék-barna" elhatározta, hanem egy bagelt is

A 3. sorrendben való kiskorúak valójában többek, és a vizsgált módszer ebben az esetben lehetővé teszi számítások csökkentését, maximum, legfeljebb négy determináns. Az Egyesült Államok sikere várta a 3. lépést, és a "jó" nonzero kicsi

Keményített cipők:

Most "kék" és "málna" oszlopok

meg kell adnia a legmagasabb megrendelések összes kiskorúját

7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: :

. Ebben az esetben ez a negyedik sorrend egyetlen kislánya, amely egybeesik a mátrix meghatározójával:

(Mivel a második és 3. sor arányos - lásd

A determináns tulajdonságai

Ha W. Nagymama Mi voltunk a mátrixban van egy ötödik oszlop lenne kiszámításához szükséges egy másik kisebb a 4. sorrendben ( „kék”, „málna” + 5. oszlop).

Kimenet

: A nonzero minraul maximális sorrendje három, azt jelenti, hogy

Talán nem minden, hogy a végén volt megérthető ez a mondat: Kisebb a 4. rend nulla, hanem az a kiskorú, a 3. rend találtak nulla - ezért a maximálisan sorrendben

nem nulla

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Kisebb és három.

A kérdés merül fel, és miért ne számítsa ki azonnal a determinánsot? Nos, először is, a legtöbb feladatot, ha a mátrix nem tér, de másrészt, még ha van egy nem nulla értéket, a feladat nagy valószínűséggel vesz fel, mivel általában a standard „alulról felfelé” megoldás. És a vizsgált példában a nulla meghatározója a 4. rend és teljesen arra utal, hogy a rongyot a mátrix csak kevesebb, mint négy.

Meg kell vallanom, a szétszerelt feladat magamhoz jöttem, hogy jobban megmagyarázzam a nyüzsgő kiskorúak módszerét. A valódi gyakorlatban minden könnyebb:

2. példa.

Megoldás és válasz a lecke végén.

Amikor az algoritmus gyorsabban működik? Menjünk vissza ugyanarra a "négy négy" mátrixra

. Nyilvánvaló, hogy a döntés a legrövidebb lesz a "jó" esetében

Sarokkarok

7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: :

És ha

T.

, másképp -

A visszaverődés egyáltalán nem hipotetikusan - sok példa van, ahol mindent csak a sarokbányászok korlátoznak.

Bizonyos esetekben azonban egy másik módszer hatékonyabb:

Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját a Gauss módszerrel?

A bekezdés az olvasók számára készült, akik már ismerik És kis keze van rajta. Technikai szempontból a módszert az újdonság nem különbözteti meg: 1) Az elemi átalakítások segítségével a mátrixot a lépés típusához adjuk; 2) A mátrix rongya megegyezik a sorok számával.

Ez egyértelmű A Gauss módszer használata nem változtatja meg a mátrix fokozatát , És a lényege itt rendkívül egyszerű: az algoritmus alapján, közben elemi transzformációk, minden extra arányos (lineárisan függő) vonalak észlelése és eltávolítása, mint amelynek eredményeként a „száraz maradékot” maradványai - a maximális száma lineárisan Független vonalak. Egy régi ismerős mátrixot átalakítunk három kollineáris vektorok koordinátáival: (1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első sort.

(2) nulla húrok eltávolítása. Így az egyik vonal ezért maradt,  – . Mit mondjunk sokkal gyorsabb, mint a második sorrend kilenc nulla kiskorú kiszámítása, és csak akkor zárja le. Emlékeztetem, hogy önmagában Algebrai mátrix Lehetetlen megváltoztatni semmit, és az átalakításokat csak a rangsor tisztázása érdekében végezzük! By the way, hagyjuk újra a kérdést, miért nem? Forrásmátrix  – Olyan információkat hordoz, amelyek alapvetően eltérnek a mátrixinformációtól és húrok

. Néhány matematikai modellben (túlzás nélkül) az egyik szám különbsége lehet az élet és a halál kérdése. ... emlékszem az elsődleges és középosztályok matematikájának iskolai tanáraitól, amelyek kegyetlenül levágják a becslést 1-2 pontra a legkisebb pontatlanságért vagy eltérés az algoritmustól. És rettenetesen sértő volt, amikor úgy tűnik, garantált "öt", "jó" vagy rosszabb. A megértés sokkal később jött - és máskülönben, hogy bízza a személy műholdakat, nukleáris robbanófejeket és erőműveket? De nem aggódsz, nem dolgozom ezeken a területeken =)

Adjuk meg az informatívabb feladatokhoz, ahol többek között megismerkedünk a fontos számítási technikákkal.

Gauss módszer

3. példa.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Keresse meg a mátrix rangját az elemi átalakítások segítségével : Dana mátrix "négy öt", ami azt jelenti, hogy rangja nyilvánvalóan nem több, mint 4. Az első oszlopban nincs 1 vagy -1, ezért további lépésekre van szükség ahhoz, hogy legalább egy egységet kapjunk. A webhely minden idejében ismételten megkérdeztem a kérdést: "Lehetséges-e átrendezni az oszlopokat az elemi átalakulások során?". Itt - átrendezték az első második oszlopot, és minden rendben van! A legtöbb feladatban, ahol használják Gauss módszer , Az oszlopok valóban átrendezhetők. De nincs szükség. És a lényeg nem is egy esetleges zavart változók, a tény az, hogy a klasszikus képzést a magasabb matematika, ez az intézkedés a hagyományosan nem tekinthető, ezért lesz nagyon görbe, olyan renewress (és akkor lesz mindent kényszerített).

A második pont a számokra vonatkozik. A határozat során hasznos a következő empirikus szabályok irányítása: Az elemi transzformációkat a mátrixszámok csökkenthetik, ha lehetséges. :

. Végtére is, egy-két-három-három, sokkal könnyebben dolgozni sokkal könnyebb, mint például 23, 45 és 97., és az első művelet nemcsak az első oszlopban lévő egység beszerzése, hanem a 7. és 11. számok megszüntetéséhez. Először egy teljes megoldás, majd megjegyzések: .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. (2) Az utolsó három sor arányos. Eltávolították a 3. és 4. sorokat, a második vonal az első helyre költözött. (3) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva.  A színpadra adott két soros mátrixban. jegyzet )

Most a sorod, hogy meggyorsítsa a négy-négy mátrixot: .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. 4. példa. Keresse meg a csengő mátrixot Gauss által  Emlékeztetek erre

. Vagy: .

Ezután meg kell kezdeni a Brutex megkezdése és a 2. sorrend kiskorúak kiszámítása. Ha a 2. sorrend összes kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő. De ez rendkívül valószínűtlen, előbb-utóbb (leggyakrabban korai), Nenulul elme találkozik : Gauss módszer Nem veszi figyelembe egyértelmű merevséget, és a döntésed valószínűleg eltér a döntésemtől. Egy rövid minta tervezési feladat a lecke végén.

Milyen módszerrel kell használni a mátrix fokozatát? Kérdés "Harmadik akarsz?" Vörös vagy zöld elvtárs címre vonatkozik: A gyakorlatban gyakran nem mondják el, hogy melyik módszert kell használni a rangsor megtalálásához. Ilyen helyzetben az állapotot elemezni kell - néhány mátrix esetében, ésszerűbb megoldást végezni a kiskorúakon keresztül, és mások számára jelentősen nyereségesebb az elemi átalakítások alkalmazásához: 5. példa. Keresse meg a rangot : Az első út valahogy azonnal eltűnik =) Csak a fenti, azt javasoltam, hogy ne érintse meg a mátrix oszlopait, de ha van nulla oszlop, vagy arányos / egybeeső oszlopok, akkor még mindig érdemes elvégezni az amputációt:

(1) Az ötödik nulla oszlop, távolítsa el a mátrixból. Így a mátrix rangja legfeljebb négy. Az első sor megszorozódott -1-vel. Ez egy másik márkás Gauss módszer, amely a következő hatást a kellemes séta: (2) Minden sorba, a másodikval kezdődően, hozzáadta az első karakterláncot. :

(3) Az első sor megszorozódott -1-vel, a harmadik vonalat 2-re osztották, a negyedik vonalat 3-ra osztották. Az ötödik vonalhoz hozzáadta a második string-t -1-vel. Először egy teljes megoldás, majd megjegyzések: .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. (2) Az utolsó három sor arányos. Eltávolították a 3. és 4. sorokat, a második vonal az első helyre költözött. (4) Az ötödik vonalhoz hozzáadta a harmadik vonalat -2-vel. (5) Az utolsó két sor arányos az ötödik eltávolítással.

Ennek eredményeként 4 sort kaptunk. Standard öt történet az önvizsgálathoz: .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. 4. példa. 6. példa.   Keresse meg a rangot

. Vagy: .

Ezután meg kell kezdeni a Brutex megkezdése és a 2. sorrend kiskorúak kiszámítása. Ha a 2. sorrend összes kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő. De ez rendkívül valószínűtlen, előbb-utóbb (leggyakrabban korai), Nenulul elme találkozik : Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy a "Rang of the matrix" kifejezés nem felel meg a gyakorlatban, és a legtöbb feladat, amit tehetsz. De van egy olyan feladat, ahol a vizsgált fogalom a fő személy, és a cikk megkötésekor ezt a gyakorlati alkalmazást figyelembe vesszük:

Hogyan vizsgáljuk meg a lineáris egyenletek rendszerét az egységek számára?

Gyakran a megoldás mellett Először egy teljes megoldás, majd megjegyzések: .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. (2) Az utolsó három sor arányos. Eltávolították a 3. és 4. sorokat, a második vonal az első helyre költözött. (4) Az ötödik vonalhoz hozzáadta a harmadik vonalat -2-vel. Lineáris egyenletek rendszerei .

(1) A második sor hozzáadta az első karakterláncot -2-vel szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadta az első karakterláncot -3-mal szorozva. És a halomhoz: Az 1. vonalat a 4. sorhoz hasonlítottuk össze -1-vel. 4. példa. Állapot szerint előzetesen vizsgálja az egységekbe, vagyis annak bizonyítására, hogy minden döntés egyáltalán van. Kulcsfontosságú szerepet játszik az ilyen ellenőrzési játékokban (5) Az utolsó két sor arányos az ötödik eltávolítással.

Caperera Capera tétel A szükséges formában fogalmazom meg:

Ezután meg kell kezdeni a Brutex megkezdése és a 2. sorrend kiskorúak kiszámítása. Ha a 2. sorrend összes kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja egyenlő. De ez rendkívül valószínűtlen, előbb-utóbb (leggyakrabban korai), Nenulul elme találkozik : Ha rangsor van Rendszermátrixok

egyenlő volt

Extended System Matrix

, akkor a rendszer koordinált, és ha ez a szám egybeesik az ismeretlen számmal, akkor a megoldás egyedülálló.

Így, hogy tanulmányozzák a rendszer kompatibilitását, ellenőrizni kell az egyenlőséget

hol

Rendszermátrix 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (Ne feledje a terminológiát a leckéből Gauss módszer ), és Bővített rendszermátrix (azaz mátrix együttható, változók + oszlop a szabadtagok). 7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: :

Minden egyszerű: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ 7. példa. Fedezze fel a rendszert egyenletes és megtalálja a megoldást, ha a rendszer koordinált És amikor a rendszerek már reverzibilisek - csak kétszer ... nem - hármas =) : Mindazonáltal figyeljen a szigorú felső vonalra - állapotra, Először , Meg kell vizsgálnia a rendszert az egységek számára. Hogyan kell dönteni? Egyébként is 7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: :

Megírjuk a kibővített rendszermátrixot, és az elemi átalakítások segítségével a lépés típusához hozza: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ a) A cikk 1. példa Az ismeretlen kizárási módszer Az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrixok rangját, így a rendszer egyenértékű forrásmátrixát a műveletek eredményeként kaptuk 7 vége {Array} \ jobb | = 0 $ (lásd a 3. tulajdonságot a meghatározó tények tulajdonságaiban). Vagy lehet, hogy ezt a meghatározó anyagot kiszámíthassák a második és a harmadik sorrend meghatározó tényező kiszámításánál lévő részből: :

és kiterjesztett rendszermátrix

 Extended System Matrix

A nonzero kisebbség maximális sorrendje

Rendszermátrixok

egyenlő három. Itt, egyetlen másolatban, és egybeesik, egyértelmű, hogy a mátrix meghatározója:

(Lásd a leckét

Добавить комментарий