Cálculo del grado de la matriz por definición.

Definición del grado de la matriz. Cálculo del grado de la matriz por definición.

Para trabajar con el concepto de Matriz de Rango, necesitaremos información del tema "Add-Ons y menores algebraicos. Tipos de minorías y adiciones algebraicas". En primer lugar, esto se refiere al término "matriz menor", ya que el rango de la matriz se determinará a través de los menores.

Matriz de rango Llame al orden máximo de su menor, entre los que hay al menos uno, no igual a cero.

Matrices equivalentes - Matrizas cuyas filas están entre sí.

Expliquemos más. Supongamos que entre los menores de la segunda orden hay al menos entre cero. Y todos los menores, cuyo orden está por encima de los dos, son cero. Conclusión: El rango de la matriz es 2. O, por ejemplo, entre los menores de la décima Orden, hay al menos uno, no igual a cero. Y todos los menores, cuyo orden superior a 10 son cero. Conclusión: El anillo de la matriz es 10.

El grado de la matriz $ A $ se denota: $ \ RANG A $ o $ R (A) $. Rank Zero Matrix $ O $ se considera cero, $ \ RANG O = 0 $. Permítanme recordarle que para la formación del menor, se requiere que la matriz para pegar las cadenas y columnas, sin embargo, para eliminar las filas y las columnas más de lo que contiene la matriz en sí, es imposible. Por ejemplo, si la matriz de $ F $ tiene un tamaño de $ 5 \ veces $ 4 (es decir, contiene 5 líneas y 4 columnas), entonces el orden máximo de su menor es igual a cuatro. Los menores de la quinta orden no tendrán éxito, ya que requerirán 5 columnas (y solo tenemos 4). Esto significa que el rango de la matriz de $ f $ $ no puede ser más de cuatro, es decir, $ \ RANG F≤4 $.

En una forma más general, lo anterior significa que si la matriz contiene $ m $ filas y columnas de $ n $, entonces su rango no puede exceder el más pequeño de $ M $ y $ N $. $ \ RANG A≤ \ min (M, N) $.

En principio, el método para encontrarlo se sigue de la definición misma de rango. El proceso de encontrar el rango de la matriz por definición puede presentarse esquemáticamente:

Como consecuencia,

Explicaré este esquema con más detalle. Empecemos a hablar desde el principio, es decir, De los menores del primer orden de alguna matriz $ A $.

  1. Si todos los menores del primer orden (es decir, los elementos de la matriz $ A $) son cero, luego $ \ RANG A = 0 $. Si se encuentra entre los menores del primer orden, hay al menos uno, no igual a cero, entonces $ \ RANG A≥ $ 1. Ir a la verificación de menores de segundo orden.
  2. Si todos los menores de la segunda orden son cero, entonces $ \ RANG A = 1 $. Si entre los menores de la segunda orden hay al menos uno, no es igual a cero, entonces $ \ RANG A≥ $ 2. Ir a revisar menores de tercer orden.
  3. Si todos los menores de tercer orden son cero, entonces $ \ RANG A = $ 2. Si entre los menores del tercer orden hay al menos uno, no es igual a cero, luego $ \ RANG A≥ $ 3. Ir a revisar a los menores de la cuarta orden.
  4. Si todos los menores de la cuarta orden son cero, entonces $ \ RANG A = $ 3. Si se encuentra entre los menores del cuarto orden, hay al menos uno, no es igual a cero, entonces $ \ RANG A≥ $ 4. Ir a revisar los menores de la quinta orden y así sucesivamente.

¿Qué nos está esperando al final de este procedimiento? Es posible que entre los menores de la orden k-th hay al menos entre cero, y todos los menores (K + 1) del pedido serán cero. Esto significa que K es el orden máximo de los minoristas, entre los que hay al menos uno, no igual a cero, es decir,. El rango será igual a k. Puede haber una situación diferente: entre los menores de la orden K-th, habrá al menos uno que no sea igual a cero, y el menor (K + 1) ya no es posible formar un procedimiento. En este caso, el trapo de la matriz también es igual a k. En breve, El orden de la última compuesto de menor de cero menor y será igual al margen de la matriz. .

Veamos a los ejemplos en los que se ilustrará el proceso de encontrar el rango de la matriz por definición. Enfatizaremos una vez más que en los ejemplos de este tema encontraremos el rango de matrices utilizando solo la definición de rango. Otros métodos (cálculo del rango de la matriz por el método de bullicioso menor, el cálculo del grado de la matriz por el método de las transformaciones elementales) se considera en los siguientes temas.

Por cierto, no es necesario comenzar el procedimiento para encontrar un rango con menores de la orden más pequeña, como se realiza en los Ejemplos No. 1 y No. 2. De inmediato, puede ir de inmediato a los mineros de órdenes más altas (vea el ejemplo número 3).

Ejemplo №1

Encuentra la matriz de rango $ A = \ IZQUIERDA (\ BEET {Array} {CCCCC}

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\

7 y 0 y -4 y 0 y 3 \\

2 y 0 y -1 y 0 y 1

\ End {Array} \ Derecha) $.

Decisión

Esta matriz tiene un tamaño de $ 3 \ veces $ 5, es decir, Contiene tres líneas y cinco columnas. De los números 3 y 5, el mínimo es 3, por lo tanto, el rango de la matriz $ A $ no es mayor que 3, es decir, $ \ RANG A≤ $ 3. Y esta desigualdad es obvia, ya que los menores de la cuarta orden, ya no podemos formar, para ellos, necesitas 4 líneas, y solo tenemos 3. Me dirijo directamente al proceso de encontrar el rango de una matriz determinada.

Entre los menores de la primera orden (es decir, entre los elementos de la matriz $ A $), hay distintos de los cero. Por ejemplo, 5, -3, 2, 7. En general, no estamos interesados ​​en el número total de elementos no cero. Hay al menos un elemento no igual de cero, y esto es suficiente. Dado que entre los menores de la primera orden hay al menos entre cero, concluimos que $ \ RANG A≥ $ 1 y vamos a revisar los menores de segundo orden.

Comencemos a investigar a los menores del segundo orden. Por ejemplo, en la intersección de las líneas No. 1, No. 2 y las columnas No. 1, No. 4 son elementos de un menor de edad: $ \ IZQUIERDO | \ BEET {ARRAY} {CC}

cincuenta \\

7 & 0 \ Fin {Array} \ Derecha | $. En este determinante, todos los elementos de la segunda columna son cero, por lo tanto, el determinante en sí es cero, es decir, $ \ izquierda | \ comienzan {array} {cc}

cincuenta \\

7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: $$.

\ izquierda | \ comienzan {array} {cc}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ Fin {Array} \ Derecha | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\

$$.

El primer menor de la segunda orden resultó ser cero. ¿Qué dice? Sobre lo que debe seguir revisando los menores del segundo orden. O todos serán cero (y luego el rango será igual a 1), o entre ellos, habrá al menos un menor, diferente de cero. Intentemos realizar una opción más exitosa escribiendo un menor de segundo orden, los elementos de los cuales se encuentran en la intersección de las cadenas No. 1, No. 2 y las columnas No. 1 y No. 5: $ \ izquierda | \ comienzan {array} {cc}

5 y 2 \\

7 y 3 \ End {Array} \ Derecha | $. Encuentra el significado de este minero de la segunda orden:

$$.

\ izquierda | \ comienzan {array} {cc}

5 y 2 \\

7 y 3 \ End {Array} \ Derecha | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

$$.

Este menor no es igual a cero. Conclusión: Entre los menores de la segunda orden hay al menos entre cero. En consecuencia, $ \ RANG A≥ $ 2. Es necesario pasar al estudio de menores de tercer orden.

Si elegiremos una columna número 2 o una columna No. 4 para formar los menores de terceros, dichos mineros serán cero (para que contendrán una columna cero). Queda por verificar solo un menor de la tercera orden, cuyos elementos se encuentran en la intersección de las columnas No. 1, No. 3, No. 5 y líneas No. 2, No. 3. Escribimos este menor y encuentlamos su valor:

$$.

7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: \ izquierda | \ comienzan {array} {ccc}

5 & ​​-3 y 2 \\

7 & -4 y 3 \\

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\

2 & -1 y 1

\ End {Array} \ Derecha | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: Así que todos los menores del tercer orden son cero. Este último que estuvimos compuestos por el menor de cero fue el segundo orden. Conclusión: el orden máximo de los minoristas, entre los que hay al menos entre cero, es 2. Por lo tanto, $ \ RANT A = $ 2.

Responder

: $ \ RANG A = $ 2.

Ejemplo número 2.

Encuentra la matriz de rango $ A = \ IZQUIERDA (\ BEET {Array} {CCCC} -1 y 3 y 2 y -3 \\ 4 & -2 y 5 y 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 y 7 y 8 & -7 \ FIN {Array} \ Derecha) $. Tenemos una matriz cuadrada de la cuarta orden. Inmediatamente tenga en cuenta que el rango de esta matriz no supera los 4, es decir, $ \ RANG A≤ $ 4. Continuaremos para encontrar el grado de la matriz. Entre los menores de la primera orden (es decir, entre los elementos de la matriz $ A $), hay al menos uno, no igual a cero, por lo tanto, $ \ RANT A≥ $ 1. Ir a la verificación de menores de segundo orden. Por ejemplo, en la intersección de las líneas No. 2, No. 3 y las columnas No. 1 y No. 2 recibiremos un menor de segundo orden menor: $ \ izquierda | \ comienzan {array} {cc} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ Fin {Array} \ Derecha | $. Lo calculo:

$$.

\ izquierda | \ comienzan {array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {Array} \ Derecha | = 0-10 = -10. :

$$. Entre los menores de la segunda orden hay al menos uno, no igual a cero, por lo tanto, $ \ RANG A≥ $ 2. Veamos a los mineros del tercer orden. Encontraremos, por ejemplo, menores, cuyos elementos se encuentran en la intersección de las líneas No. 1, No. 3, No. 4 y columnas No. 1, No. 2, No. 4:

$$.  \ izquierda | \ Comienzan {array} {cccc} .

-1 y 3 & -3 \\ -5 y 0 y 0 \\

9 y 7 y -7 \ End {Array} \ Derecha | = 105-105 = 0. $$. Dado que el tercer orden menor resultó ser igual a cero, entonces necesita explorar otro menor de la tercera orden. O todo lo que serán iguales a cero (entonces el rango será igual a 2), o hay al menos uno, no igual a cero entre ellos (luego, para explorar los menores del cuarto orden). Considere el menor de la tercera orden, los elementos de los cuales se encuentran en la intersección de las líneas No. 2, No. 3, No. 4 y columnas No. 2, No. 3, №4: $$. \ izquierda | \ Comienzan {array} {ccc} -2 y 5 y 1 \\ 0 & -4 y 0 \\ 7 y 8 & -7 \ End {Array} \ Derecha | = -28. $$. Entre los menores del tercer orden hay al menos entre cero, por lo tanto, $ \ RANG A≥ $ 3. Ir a revisar a los menores de la cuarta orden. Cualquier menor de la cuarta orden está ubicado en la intersección de cuatro líneas y cuatro columnas de la matriz de $ A $. En otras palabras, menor de la cuarta orden es el identificador de la matriz de $ A $, ya que esta matriz solo contiene 4 líneas y 4 columnas. El determinante de esta matriz se calculó en el Ejemplo No. 2 del tema "Baje el orden del determinante. Descomposición del determinante en una cadena (columna)", por lo que simplemente tomamos el resultado terminado:

$$. \ izquierda | \ Comienzan {array} {cccc} -1 y 3 y 2 y -3 \\ и 4 & -2 y 5 y 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 y 7 y 8 y -7 \ End {Array} \ Derecha | = 86.

$$. Por lo tanto, menor de la cuarta orden no es igual a cero. Menores del quinto orden que ya no podemos formar. Conclusión: el orden más alto de los minoristas, entre los que hay al menos una diferente de cero, es 4. Resultado: $ \ Rang A = $ 4. : $ \ RANG A = $ 4. Ejemplo número 3. Encuentra la matriz de rango $ A = \ IZQUIERDA (\ BEET {Array} {CCCC} -1 y 0 y 2 & -3 \\ .

4 & -2 y 5 y 1 \\ $$. 7 & -4 y 0 & -5 \ FIN {Array} \ Derecha) $. Inmediatamente tenga en cuenta que esta matriz contiene 3 líneas y 4 columnas, por lo tanto, $ \ RANG A≤ $ 3. En ejemplos anteriores, comenzamos el proceso de búsqueda de rango de la consideración de los menores de la orden más pequeña (primera). Aquí intentaremos revisar inmediatamente a los menores del orden máximo posible. Por la matriz de $ A $, los menores del tercer orden son. Considere al menor de la tercera orden, los elementos de los cuales se encuentran en la intersección de las líneas No. 1, No. 2, No. 3 y columnas No. 2, No. 3, No. 4: $$. \ izquierda | \ Comienzan {array} {ccc}

0 y 2 & -3 \\ -2 y 5 y 1 \\ -4 & 0 & -5 \ End {Array} \ Derecha | = -8-60-20 = -88. $$. Por lo tanto, el orden más alto de fondos, entre los que existe al menos uno, no es igual a cero, es 3. Por lo tanto, el grado de la matriz es 3, es decir, $ \ RANG A = $ 3. : $ \ Rang A = $ 3. En general, encontrar el rango de la matriz por definición, en el caso general, la tarea requiere mucho tiempo. Por ejemplo, la matriz de una cantidad relativamente pequeña de $ 5 \ veces $ 4 $ tiene 60 menores de segundo orden. Y si incluso los 59 de ellos serán cero, entonces el 60 menor puede ser distinto de cero. Luego tendrá que explorar los menores del tercer orden, que esta matriz tiene 40 piezas. Por lo general, están tratando de usar formas menos voluminosas, como el método de enfoque de los mineros o el método de transformación equivalente. .

¿Cómo encontrar el rango de la matriz? El conocimiento del grado de la matriz aumentará su rango =) En la lección de hoy, nos familiaricamos con el concepto de rango. Matriz algebraica , aprende a encontrar el rango de la matriz Método de fondos aburridos. Por gauss

, así como considerar un importante tema de aplicación práctica: Estudio de un sistema de ecuaciones lineales para la compatibilidad. ¿Cuál es el rango de la matriz?

El epígrafe humorístico del artículo contiene una gran proporción de la verdad. La palabra "rango" en sí, generalmente se asocia con alguna jerarquía, con mayor frecuencia, con una escalera de servicio. Cuanto mayor sea el conocimiento humano, la experiencia, las habilidades, la estancia de instrucciones, etc. - Cuanto mayor sea su posición y el rango de posibilidades. Estoy expresado por los jóvenes, bajo el rango implica el grado general de "inclinación". Y nuestros hermanos matemáticos viven de acuerdo con los mismos principios. Traeré un poco de arbitrario a pasear. Matrices cero Piensa en la matriz. Algunos ceros

¿De qué rango podemos hablar? Todos están familiarizados con la expresión informal "Full Cero". En la sociedad, las matrices son todas exactamente las mismas:

Rango cero matriz Cualquier tamaño es cero Nota .

-1 y 3 & -3 \\ : La matriz cero está indicada por la letra griega "theta"

Para comprender mejor el rango de la matriz aquí y luego atraeré materiales al rescate. :

Geometría analítica

. Considerar cero El conocimiento del grado de la matriz aumentará su rango =) vector nuestro espacio tridimensional que no especifica una determinada dirección y es inútil construir base afín

. Desde un punto de vista algebraico, las coordenadas de este vector se registran en Matriz "Uno a tres" y lógico (en el sentido geométrico especificado) Es necesario que el rango de esta matriz sea cero. Ahora considera algunos

Nenulevoy Vectores de columnas Cadena de vectores

En cada caso hay al menos un elemento distinto de cero, ¡y esto ya es algo!

¿Cómo encontrar el rango de la matriz? El conocimiento del grado de la matriz aumentará su rango =) vector Rango de cualquier cadena de vector no cero (vector de columna) es igual a uno Y en general, Si en la matriz tamaños arbitrarios

Hay al menos un elemento distinto de cero, luego su rango no menos unidades .

Los vectores de vector algebraico y los vectores de columnas son abstractos abstractos, por lo que volveremos a la asociación geométrica. Nenuleva

Especifica una dirección completamente definida en el espacio y es adecuada para la construcción. : Basura , por lo que el rango de la matriz Consideraremos una unidad igual. Certificado teórico

: En álgebra lineal, vector es un elemento de espacio vectorial (definido a través de 8 axiomas), que, en particular, puede ser una cadena ordenada (o columna) de números válidos Con operaciones definidas para ellos. y multiplicación en un número válido

. Se puede encontrar más información sobre los vectores en el artículo. Transformaciones lineales Considerar la matriz Cuyas líneas son .

dependiente linealmente

(expresados ​​el uno en el otro). Desde un punto de vista geométrico, las coordenadas del vector colinal se registran en la segunda cadena. que no avanzaron en el caso en la construcción Base tridimensional Siendo un exceso en este sentido. Por lo tanto, el rango de esta matriz también es igual a uno. Reescribimos las coordenadas de los vectores en las columnas (

Transposición de la matriz ) ¿Qué ha cambiado desde el punto de vista del rango? Nada. Las columnas son proporcionales, significa que el rango es igual a uno. Por cierto, tenga en cuenta que las tres líneas también son proporcionales. Se pueden identificar con coordenadas. Tres Vectores de plano colineal de los cuales solo uno Es útil para construir una base "plana". Y esto es totalmente consistente con nuestro sentido geométrico de rango. El ejemplo anterior sigue una declaración importante: El rango de la matriz en las filas es igual a las calificaciones de las columnas. .

. Ya mencioné este poco en la lección sobre efectivos.

Métodos para calcular el determinante. : De la dependencia lineal de las cadenas sigue la dependencia lineal de las columnas (y viceversa). Pero para ahorrar tiempo, y debido al hábito, casi siempre hablaré de la dependencia lineal de las líneas. Continúa entrenando a nuestra mascota favorita. Añadir a la matriz de la coordenada de la tercera línea de otro vector colineal ¿Ha ayudado a construir una base tridimensional? Por supuesto no. Los tres vector caminan allí y aquí en una pista, y el rango de la matriz es igual a uno. Puede tomar cuántos vectores colineRes, digamos, 100, colocar sus coordenadas en la matriz de "cien por uno" y el rango de dicho rascacielos seguirán siendo una sola. Familiarizarse con la matriz independiente linealmente . Un par de vectores de nonollyline

Adecuado para construir una base tridimensional. El rango de esta matriz es dos. Y cual es el rango de la matriz ? Las filas parecen no ser proporcionales ..., significa, en la idea de tres. Sin embargo, el rango de esta matriz también es igual a dos. Doblé las dos primeras líneas y grabé el resultado a continuación, que es Expresado linealmente Tercera línea a través de los dos primeros. Las cadenas geométricamente de la matriz corresponden a tres coordenadas. Vectores de cumplimiento .

Trabajando en este triple hay un par de compañeros de nonollyline.

Como se puede ver

Adicción lineal En la matriz considerada no es obvia, y hoy aprenderemos a retirarlo "en agua limpia".

¡Creo que muchos están adivinando cuál es el rango de la matriz! . Vectores Formulario .

Base afectuosa , y el rango de esta matriz es tres. Como saben, cualquier cuarto, quinto, décimo vector de espacio tridimensional se expresará linealmente a través de vectores básicos. Por lo tanto, si en la matriz Añadir cualquier número de líneas, entonces su rango Todavía será tres

Se pueden realizar argumentos similares para matrices de gran tamaño (claro, sin significado geométrico). Definición El rango de la matriz es el número máximo de líneas linealmente independientes. .

. O: El rango de la matriz es el número máximo de columnas lineales independientes. .

. Sí, su número siempre coincide.

De lo anterior, también es un punto de referencia práctico importante:

El rango de la matriz no excede su dimensión mínima.

. Por ejemplo, en la matriz.

Cuatro líneas y cinco columnas. La dimensión mínima es cuatro, por lo tanto, el rango de esta matriz no supera los 4.

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ Designaciones

: En la teoría del mundo y la práctica, no hay un estándar generalmente aceptado para la designación del grado de la matriz, la mayoría de las veces puede conocer:

- Como dicen, el inglés escribe uno, el otro alemán. Por lo tanto, vamos a la famosa anécdota sobre el infierno estadounidense y ruso para designar el rango de la matriz por la palabra nativa. Por ejemplo: . Y si la matriz "Innominado", Koim se reúne mucho, entonces puedes grabar .

¿Cómo encontrar el rango de la matriz con la ayuda de los minoristas? En la clase de O. .

Cálculo del determinante. :

y quedarse Matriz inverso Ya hemos cumplido con los menores de la segunda orden, obtenidos experimentando las filas y columnas en la matriz "Tres tres". Ahora ampliaremos el concepto de menor y le daremos una definición ... no suspirar tan duro, aquí con imágenes =) Menor

, , .

rectangular

Las matrices se llaman

determinante .

Compuesto por números que están en la intersección de varios , filas y diferentes :

Columnas de la matriz. Número

Llamada

Orden MINRA  

Tenga en cuenta que la matriz en sí no está obligada a ser cuadrada. Considere un ejemplo específico:

¿Cómo obtener cualquier menor de la segunda orden? Necesitas seleccionar dos líneas arbitrarias, por ejemplo,

2do y 4 y quedarse , dos columnas arbitrarias, por ejemplo, 3er y 5 , y los números en su intersección. Escribe en menor de la segunda orden: . ¿Cuántos menores de la segunda orden? Muchos. Hay fórmulas combinatoriales especiales para calcular el número de minorías, pero en el marco de esta lección, esta es una información baja. .

Obtenemos un poco de menor de la tercera orden. Consideramos tres líneas arbitrarias, por ejemplo, 1, 3 y 4

, tres columnas arbitrarias, por ejemplo, 1er, 2 y 4 y de su intersección "Eliminar" Menor 3er orden: En cuanto a los menores del 4º Orden, entonces la elección ya es pequeña: es necesario usar las 4 líneas y cuatro columnas arbitrarias, por ejemplo, todas las columnas, con la excepción del 3er: )

Algoritmo para encontrar una matriz de grado con la ayuda de menor Como ejemplo, toma la misma matriz. . Dado que la matriz tiene elementos distintos de cero, entonces su rango no es inferior a uno y, es obvio que no excede 4. ¿Cómo actuar a continuación?

A continuación, es necesario comenzar a Brutex y calcular los menores del segundo orden. Si todos los menores del segundo orden son cero, el rango de la matriz es igual a uno. Pero es extremadamente improbable, tarde o temprano (más a menudo temprano), Nenulul Mind se reunirá , y este hecho significa que el rango de la matriz. .

No menos de dos En el siguiente paso, juramos constantemente y calculamos a los menores de la tercera orden. Si todos estos mineros son cero, entonces . Si el Minder se reuniera

, concluimos que el rango de la matriz.

Al menos tres

Y vaya al siguiente paso.

Cuatro líneas y cinco columnas. La dimensión mínima es cuatro, por lo tanto, el rango de esta matriz no supera los 4.

Busto y calculando a los minoristas de la cuarta orden. Si todos los menores de la 4ª orden son iguales a cero, entonces

Si conocí menor T. Por lo tanto, :

El rango de la matriz es igual al orden máximo de lo menor distino. El esquema de "LOB en la frente" es a menudo criticado, pero de manera extraña, en muchos casos da buenos resultados. Sin embargo, debe tenerse en cuenta la duración del proceso y para reducir el número de cálculos, desarrollado: Método de bulliciosos minoristas. .

El algoritmo en general, me temo que habrá pocas que se entendieron, es mucho más fácil desmontarlo en una tarea específica:

Ejemplo 1.

Encuentra el trapo de la matriz por el método de los menores bulliciosos.

: Dana Square Matrix "Cuatro cuatro" y, por supuesto, su rango no es más de cuatro. 9 y 7 y 8 & -7 \ FIN {Array} \ Derecha) $. Nosotros cargamos:

Dado que la matriz tiene elementos distintos de cero, entonces su rango

No menos unidades

Comprobando a los menores del segundo orden de inicio con el llamado

Esquina menor , así que ve a menor , Así que, rango de matriz

No menos de dos . ¿Qué tendría que hacer si este menor resultó ser cero? En este caso, consideramos menores.

, y si también es cero, vamos más lejos:

Si es necesario (cuando hubo solo ceros), una búsqueda de menor debe continuar con un esquema similar: 1ª y 3ª Líneas;

1ª y 4ª Líneas; 2 y 3 líneas; 2ª y 4ª LÍNEAS; Las líneas 3ª y 4ª, hasta que el menor sea uniforme, diferente de cero. Si todos los menores de la segunda orden resultó ser cero, entonces Pero en nuestro caso, en el segundo paso, se encontró el "bueno" menor, y ahora vamos a la consideración de menores de tercer orden. Encontrar piernas con colega más joven

que se incluirá en todos los pedidos más altos en cuestión Pregunta "¿Tercero quieres?" Se puede dirigirse a camarada roja o verde: :

Sería la quinta columna, se encontraría otro amigo.

Empecemos con el rojo:

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ No ayudó. Ahora entiende la codicia:

También malo. Sienta las piernas de abajo y tome un número consistente en los números "Roll" y "Brown" de la compañía: Primero, "azul" con "frambuesa": Al menos tres

. Si este menor resultó ser cero, entonces sería necesario calcular el determinante de los números "azules" y "marrón". Otros menores del tercer orden, que contienen el menor de edad más joven. - no

. Y si el "Blue-Brown" determinó también se comió un panecillo, entonces

Los menores de la tercera orden son en realidad más, y el método bajo consideración en este caso le permite reducir los cálculos, el máximo, hasta cuatro determinantes. El éxito de nosotros estaba esperando el tercer paso, y el "bueno" distinto de lo no cero.

Zapatos endurecidos:

Ahora las columnas "azul" y "frambuesa"

Debe ingresar a todos los menores de las órdenes más altas.

7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: :

. En este caso, este es el único menor de la 4ª orden, que coincide con el determinante de la matriz:

(Porque las líneas 2 y 3 son proporcionales - ver

Propiedades del determinante.

Si W. Abuelas Estábamos en la matriz. Hubo una quinta columna, sería necesario calcular otro menor de la 4ª orden ("azul", "frambuesa" + 5ª columna).

Producción

: El orden máximo de Nonzero Minraul es tres, significa que

Tal vez no todo hasta el final fue comprendido por esta frase: menor de la 4ª orden es cero, pero entre los menores del tercer orden se encontró a Nonzero, por lo tanto el orden máximo

no cero

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ Menor e igual a tres.

¿Surge la pregunta, y por qué no calcular el determinante inmediatamente? Bueno, en primer lugar, en la mayoría de las tareas, la matriz no es cuadrada, pero en segundo lugar, incluso si tiene un valor distinto de cero, la tarea con una alta probabilidad que se extrae, ya que generalmente implica la solución estándar "de abajo hacia arriba". Y en el ejemplo considerado, el determinante cero del 4º Orden y sugéteres sugiere que el trapo de la matriz es solo menos de cuatro.

Debo confesar, la tarea desmontada me acompañé para explicar mejor el método de los menores bulliciosos. En la práctica real, todo es más fácil:

Ejemplo 2.

Solución y respuesta al final de la lección.

Cuando el algoritmo funciona más rápido? Volvamos a la misma matriz de "cuatro cuatro"

. Obviamente, la decisión será la más corta en el caso de "bueno"

Esquina de los minoristas

7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: :

Y si

T.

, de lo contrario -

La reflexión no es en absoluto hipotéticamente, hay muchos ejemplos en los que todo está limitado solo por los mineros de la esquina.

Sin embargo, en algunos casos, otro método es más eficiente:

¿Cómo encontrar el rango de la matriz usando el método de Gauss?

El párrafo está diseñado para los lectores que ya están familiarizados con Y poco de una mano en ella. Desde un punto de vista técnico, el método no se distingue por la novedad: 1) Con la ayuda de las transformaciones elementales, le damos la matriz al tipo de paso; 2) El trapo de la matriz es igual al número de filas.

Está claro que El uso del método Gauss no cambia el grado de la matriz , y la esencia aquí es extremadamente simple: de acuerdo con el algoritmo, durante las transformaciones elementales, se detectan y eliminan todas las líneas adicionales proporcionales (dependientes linealmente), como resultado de lo cual permanece el "residuo seco", el número máximo de lineal Líneas independientes. Transformamos una antigua matriz familiar con coordenadas de tres vectores colineales: (1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera línea.

(2) cero cadenas eliminar. Así, una línea permaneció, por lo tanto,  – . Lo que decir es mucho más rápido que calcular nueve menores de cero de la segunda orden y solo luego concluir. Te recuerdo que en sí mismo Matriz algebraica ¡Es imposible cambiar cualquier cosa, y las transformaciones se realizan solo para aclarar el rango! Por cierto, hagamos detenernos de nuevo en la pregunta, ¿por qué no? Matriz fuente  – Lleva información que es fundamentalmente diferente de la información de la matriz y cuerdas

. En algunos modelos matemáticos (sin exagerar), la diferencia en un número puede ser una cuestión de vida y muerte. ... Recordé a los maestros de la escuela de las matemáticas de las clases primarias y medias, que cortan despiadadamente la estimación de 1-2 puntos por la menor inexactitud o desviación del algoritmo. Y fue terriblemente insultante cuando, en cambio, parecería garantizado "cinco", "bueno" o peor. La comprensión llegó mucho más tarde, ¿y cómo lo contrario, para confiar a los satélites de la persona, las ojivas nucleares y las centrales eléctricas? Pero no te preocupes, no trabajo en estas áreas =)

Veamos a las tareas más informativas donde, entre otras cosas, nos familiarizaremos con importantes técnicas computacionales.

Método de gauss

Ejemplo 3.

5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ Encuentra el rango de la matriz usando transformaciones elementales. : Dana Matrix "Cuatro cinco", lo que significa que su rango es obviamente no más de 4. En la primera columna, no hay 1 o -1, por lo tanto, se necesitan pasos adicionales para recibir al menos una unidad. En todo el tiempo del sitio, he hecho repetidamente una pregunta: "¿Es posible reorganizar las columnas durante las transformaciones elementales?". Aquí, reorganizó la primera segunda columna, ¡y todo está bien! En la mayoría de las tareas donde se usa. Método de gauss , las columnas realmente pueden reorganizar. Pero no hay necesidad. Y el punto ni siquiera está en una posible confusión con las variables, el hecho es que en el curso clásico de la capacitación de las matemáticas más altas, esta acción no se considera tradicionalmente, por lo que será muy torcida en tal renovación (y luego será forzado todo).

El segundo punto se refiere a los números. Durante la decisión, es útil ser guiado por las siguientes reglas empíricas: Las transformaciones elementales se pueden reducir por los números de la matriz si es posible. :

. Después de todo, con una unidad dos-tres, es mucho más fácil trabajar mucho más fácil que, por ejemplo, de 23, 45 y 97. Y la primera acción está dirigida no solo a obtener una unidad en la primera columna, sino también A la eliminación de los números 7 y 11. Primero una solución completa, luego comenta: .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. (2) Las últimas tres líneas son proporcionales. Se eliminaron las líneas 3ª y 4ª, la segunda línea se trasladó al primer lugar. (3) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -3.  En la matriz de dos líneas dada al escenario. Nota )

Ahora su turno es atormentar la matriz de cuatro cuatro: .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. Ejemplo 4. Encuentra la matriz Rang por Gauss  Te recuerdo que

. O: .

A continuación, es necesario comenzar a Brutex y calcular los menores del segundo orden. Si todos los menores del segundo orden son cero, el rango de la matriz es igual a uno. Pero es extremadamente improbable, tarde o temprano (más a menudo temprano), Nenulul Mind se reunirá : Método de gauss No asume rigidez inequívoca, y su decisión es probable que sea diferente de mi decisión. Una breve tarea de diseño de muestra al final de la lección.

¿Qué método usar para encontrar el grado de la matriz? Pregunta "¿Tercero quieres?" Se puede dirigirse a camarada roja o verde: En la práctica, a menudo no se dice en absoluto, qué método debe usarse para encontrar rango. En tal situación, la condición debe analizarse, para algunas matrices, es más racional llevar a cabo una solución a través de los menores, y para otros, es significativamente más rentable aplicar transformaciones elementales: Ejemplo 5. Encontrar la matriz de rango : La primera forma en que de alguna manera desaparece de inmediato =) Justo arriba, aconsejé que no toquen las columnas de la matriz, pero cuando hay una columna cero, o columnas proporcionales / coincididas, entonces todavía vale la pena llevar a cabo la amputación:

(1) La quinta columna cero, retírela de la matriz. Por lo tanto, el rango de la matriz no es más de cuatro. La primera línea se multiplicó por -1. Este es otro método de Gauss de marca, que convierte el siguiente efecto en un paseo agradable: (2) a todas las filas, comenzando con el segundo, agregó la primera cadena. :

(3) La primera línea se multiplicó por -1, la tercera línea se dividió en 2, la cuarta línea se dividió en 3. a la quinta línea agregó la segunda cadena multiplicada por -1. Primero una solución completa, luego comenta: .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. (2) Las últimas tres líneas son proporcionales. Se eliminaron las líneas 3ª y 4ª, la segunda línea se trasladó al primer lugar. (4) a la quinta línea agregó la tercera línea multiplicada por -2. (5) Las dos últimas líneas son proporcionales a la quinta eliminación.

Como resultado, se obtuvieron 4 líneas. Estándar de cinco pisos para auto-estudio: .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. Ejemplo 4. Ejemplo 6.   Encontrar la matriz de rango

. O: .

A continuación, es necesario comenzar a Brutex y calcular los menores del segundo orden. Si todos los menores del segundo orden son cero, el rango de la matriz es igual a uno. Pero es extremadamente improbable, tarde o temprano (más a menudo temprano), Nenulul Mind se reunirá : Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Cabe señalar que la frase "rango de la matriz" no se reunirá tan a menudo en la práctica, y en la mayoría de las tareas puede hacer sin ella. Pero hay una tarea en la que el concepto en consideración es la persona principal, y en la conclusión del artículo consideraremos esta aplicación práctica:

¿Cómo investigar un sistema de ecuaciones lineales para las unidades?

A menudo, además de la solución. Primero una solución completa, luego comenta: .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. (2) Las últimas tres líneas son proporcionales. Se eliminaron las líneas 3ª y 4ª, la segunda línea se trasladó al primer lugar. (4) a la quinta línea agregó la tercera línea multiplicada por -2. Sistemas de ecuaciones lineales. .

(1) La segunda línea agregó la primera cadena multiplicada por -2. A la tercera línea agregó la primera cadena multiplicada por -3. Y al montón: se agregó la 1ª línea a la 4ª línea multiplicada por -1. Ejemplo 4. Por condición, es pre-investigarlo en unidades, es decir, para demostrar que existe alguna decisión en absoluto. Un papel clave en tales jugadas de inspección. (5) Las dos últimas líneas son proporcionales a la quinta eliminación.

Caperera Capera teorema Formulado en el formulario requerido:

A continuación, es necesario comenzar a Brutex y calcular los menores del segundo orden. Si todos los menores del segundo orden son cero, el rango de la matriz es igual a uno. Pero es extremadamente improbable, tarde o temprano (más a menudo temprano), Nenulul Mind se reunirá : Si rango Matrices del sistema

igual a rang

Matriz de sistema extendido

Entonces, el sistema está coordinado, y si este número coincide con el número de desconocido, entonces la solución es única.

Por lo tanto, para estudiar el sistema para la compatibilidad, debe verificar la igualdad.

dónde

Matriz del sistema 5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ (Recuerde la terminología de la lección. Método de gauss ), y Matriz de sistema expandido (es decir, matriz con coeficientes con variables + columna de miembros libres). 7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: :

Todo es simple: 5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ Ejemplo 7. Explore el sistema para uniforme y encuentre su solución si el sistema está coordinado. Y cuando los sistemas ya son reversibles, solo doblemente ... no - triple =) : Sin embargo, preste atención a la estricta línea superior, por condición, en primer lugar , Se requiere que revise el sistema para las unidades. ¿Cómo comenzar una decisión? De todas formas 7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: :

Escribimos la matriz del sistema expandido y con la ayuda de las transformaciones elementales, lo llevamos al tipo de paso: 5 y 0 y -3 y 0 y 2 \\ a) Ejemplo No. 1 del artículo sobre El método de exclusión de desconocido. Las transformaciones elementales no cambian el rango de matrices, por lo que la matriz de fuente equivalente del sistema se obtuvo como resultado de las acciones 7 \ End {Array} \ Derecha | = 0 $ (consulte la propiedad # 3 en el tema de las propiedades de los determinantes). O es posible calcular este determinante utilizando la Fórmula Nº 1 de la sección sobre el cálculo de los determinantes del segundo y tercer orden: :

y matriz de sistema extendido

 Matriz de sistema extendido

Orden máxima de menor menor

Matrices del sistema

es igual a tres. Aquí, en una sola copia y coincide, está claro, con el determinante de la matriz en sí:

(vea la lección sobre

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