Υπολογισμός του βαθμού της μήτρας εξ ορισμού.

Ορισμός του βαθμού της μήτρας. Υπολογισμός του βαθμού της μήτρας εξ ορισμού.

Για να συνεργαστείτε με την έννοια της κατάταξης Matrix, θα χρειαστούμε πληροφορίες από το θέμα "Algebraic add-ons και ανηλίκους. Τύποι μειονοτήτων και αλγεβρικών προσθηκών". Πρώτα απ 'όλα, αυτό αφορά τον όρο "μικρή μήτρα", καθώς η τάξη της μήτρας θα καθοριστεί μέσω των ανηλίκων.

Κατάταξη Matrix Καλέστε τη μέγιστη σειρά της ανηλίκης, μεταξύ των οποίων υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν.

Ισοδύναμες μήτρες - Matrixes των οποίων οι τάξεις είναι μεταξύ τους.

Ας εξηγήσουμε περισσότερα. Ας υποθέσουμε μεταξύ των ανηλίκων της δεύτερης τάξης, υπάρχει τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι, η σειρά του οποίου είναι πάνω από δύο, είναι μηδέν. Συμπέρασμα: Η κατάταξη της μήτρας είναι 2. ή, για παράδειγμα, μεταξύ των ανηλίκων της δέκατης τάξης, υπάρχει τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι, η σειρά του οποίου πάνω από 10 είναι μηδέν. Συμπέρασμα: Ο δακτύλιος της μήτρας είναι 10.

Ο βαθμός του Matrix $ a $ diseed: $ \ rang a $ ή $ r (a) $. Το Rank Zero Matrix $ O $ θεωρείται μηδέν, $ \ rang o = 0 $. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για τον σχηματισμό του ανήλικου, η μήτρα απαιτείται να επισκεφθείτε τις χορδές και τις στήλες - ωστόσο, για να διαγράψετε τις σειρές και τις στήλες περισσότερο από το ίδιο το μήτρα που περιέχει, είναι αδύνατο. Για παράδειγμα, αν το $ F $ Matrix έχει μέγεθος $ 5 \ Times $ 4 (δηλ. Περιέχει 5 γραμμές και 4 στήλες), τότε η μέγιστη σειρά του ανήλικου είναι ίση με τέσσερα. Οι ανήλικοι της πέμπτης τάξης δεν θα πετύχουν, δεδομένου ότι θα απαιτήσουν 5 στήλες (και έχουμε μόνο 4). Αυτό σημαίνει ότι η τάξη του Matrix $ f $ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τέσσερα, δηλ. $ \ rang f≤4 $.

Σε μια γενικότερη μορφή, τα προαναφερθέντα σημαίνει ότι αν η μήτρα περιέχει $ m $ σειρές και $ n $ στήλες, τότε η κατάταξή του δεν μπορεί να υπερβεί το μικρότερο από $ m $ και $ n $. $ \ Rang a≤ \ min (m, n) $.

Κατ 'αρχήν, η μέθοδος εύρεσης ακολουθείται από τον ίδιο τον ορισμό της κατάταξης. Η διαδικασία εύρεσης της τάξης της μήτρας εξ ορισμού μπορεί να υποβληθεί σχηματικά:

Συνεπώς,

Θα εξηγήσω αυτό το σχήμα λεπτομερέστερα. Ας αρχίσουμε να μιλάμε από την αρχή, δηλ. Από τους ανηλίκους της πρώτης τάξης κάποιου Matrix $ a $.

  1. Εάν όλοι οι ανήλικοι της πρώτης τάξης (δηλαδή τα στοιχεία του Matrix $ a $) είναι μηδέν, τότε $ \ rang a = 0 $. Εάν μεταξύ των ανηλίκων της πρώτης τάξης, υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, τότε $ \ rang a≥ $ 1. Πηγαίνετε στον έλεγχο των ανηλίκων της δεύτερης τάξης.
  2. Εάν όλοι οι ανήλικοι της δεύτερης τάξης είναι μηδέν, τότε $ \ rang a = 1 $. Εάν μεταξύ των ανηλίκων της δεύτερης τάξης, υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, τότε $ \ rang a≥ $ 2. Πηγαίνετε στον έλεγχο ανηλίκων τρίτης τάξης.
  3. Εάν όλες οι ανήλικοι τρίτης τάξης είναι μηδέν, τότε $ \ rang a = $ 2. Εάν μεταξύ των ανηλίκων της τρίτης τάξης, υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, τότε $ \ rang a≥ $ 3. Πηγαίνετε στον έλεγχο των ανηλίκων της τέταρτης τάξης.
  4. Εάν όλοι οι τέταρτοι ανήλικοι είναι μηδέν, τότε $ \ rang a = $ 3. Αν μεταξύ των ανηλίκων της τέταρτης τάξης, υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, τότε $ \ rang a≥ $ 4. Πηγαίνετε στον έλεγχο των ανηλίκων της πέμπτης τάξης και ούτω καθεξής.

Τι μας περιμένει στο τέλος αυτής της διαδικασίας; Είναι πιθανό ότι μεταξύ των ανηλίκων της τάξης K-TH υπάρχουν τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν και όλοι οι ανήλικοι (K + 1) της παραγγελίας θα είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το Κ είναι η μέγιστη σειρά των μειοριτών, μεταξύ των οποίων υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, δηλ. Η κατάταξη θα είναι ίση με το k. Μπορεί να υπάρχει μια διαφορετική κατάσταση: μεταξύ των ανηλίκων της διαταγής K-TH θα υπάρξουν τουλάχιστον μηδέν, και ο ανήλικος (K + 1) δεν είναι πλέον δυνατός να σχηματίσει μια διαδικασία. Σε αυτή την περίπτωση, το κουρέλι της μήτρας είναι επίσης ίσο με το k. Εν συντομία, Τη σειρά του τελευταίου αποτελούμενου από μη δευτερεύοντα ή να είναι ίσο με το περιθώριο της μήτρας .

Ας στραφούμε στα παραδείγματα στα οποία η διαδικασία εύρεσης της τάξης της μήτρας εξ ορισμού θα απεικονιστεί. Θα τονίσουμε για άλλη μια φορά ότι στα παραδείγματα αυτού του θέματος θα βρούμε την τάξη των πινάκων χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της κατάταξης. Άλλες μέθοδοι (υπολογισμός της τάξης της μήτρας με τη μέθοδο πολυσύχνασης μικρού, ο υπολογισμός του βαθμού της μήτρας με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών) εξετάζονται στα ακόλουθα θέματα.

Με την ευκαιρία, δεν είναι απαραίτητο να ξεκινήσει η διαδικασία για την εξεύρεση βαθμού με ανηλίκους της μικρότερης τάξης, όπως γίνεται στα Παραδείγματα Νο. 1 και Νο. 2. Μπορείτε να μεταβείτε αμέσως σε ανθρακωρύχους υψηλότερων παραγγελιών (δείτε το παράδειγμα αριθ. 3).

Παράδειγμα №1

Βρείτε το βαθμό Matrix $ a = \ αριστερά (\ Begin {Array} {CCCCC}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\

2 & 0 & -1 & 0 & 1

\ End {Array} \ Δεξιά) $.

Απόφαση

Αυτή η μήτρα έχει μέγεθος $ 3 \ χρόνο $ 5, δηλ. Περιέχει τρεις γραμμές και πέντε στήλες. Από τους αριθμούς 3 και 5, το ελάχιστο είναι 3, επομένως η τάξη του μήτρα $ a $ δεν είναι μεγαλύτερη από 3, δηλ. $ \ Rang a≤ $ 3. Και αυτή η ανισότητα είναι προφανής, αφού οι ανήλικοι της τέταρτης τάξης, δεν μπορούμε πλέον να σχηματίσουμε, - για αυτούς χρειάζεστε 4 γραμμές, και έχουμε μόνο 3. στρέφουμε απευθείας στη διαδικασία εύρεσης της τάξης ενός συγκεκριμένου μήτρα.

Μεταξύ των ανηλίκων της πρώτης τάξης (δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων του Matrix $ a $) υπάρχουν μηδενικά. Για παράδειγμα, 5, -3, 2, 7. Γενικά, δεν μας ενδιαφέρει ο συνολικός αριθμός μη μηδενικών στοιχείων. Υπάρχουν τουλάχιστον ένα όχι ίσο μηδενικό στοιχείο - και αυτό είναι αρκετό. Δεδομένου ότι μεταξύ των ανηλίκων της πρώτης τάξης υπάρχουν τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι $ \ rang A≥ $ 1 και πηγαίνετε για να ελέγξετε τους ανηλίκους δεύτερης τάξης.

Ας αρχίσουμε να διερευνούν τους ανηλίκους της δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 1, Νο. 2 και οι στήλες Νο. 1, Νο. 4 είναι στοιχεία ενός τόσο ανήλικου: $ \ Αριστερά | \ Begin {Array} {CC}

πενήντα \\

7 & 0 \ τέλος {Array} \ Δεξιά | $. Σε αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα, όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης είναι μηδέν, επομένως ο ίδιος ο καθοριστικός παράγοντας είναι μηδέν, δηλ. $ \ Αριστερά | \ Begin {Array} {CC}

πενήντα \\

7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: $$.

\ Αριστερά | \ Begin {Array} {CC}

5 & ​​0 \\ 7 & 0 \ Τελικό {Array} \ Δεξιά | = 5 \ CDOT 0-0 \ CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

$$.

Η πρώτη μικρή από τη δεύτερη τάξη αποδείχθηκε μηδέν. Τι λέει? Για το τι πρέπει να συνεχίσει να ελέγχει τους ανηλίκους της δεύτερης τάξης. Είτε όλοι θα είναι μηδέν (και στη συνέχεια η κατάταξη θα είναι ίση με 1), ή μεταξύ τους θα υπάρξουν τουλάχιστον ένα δευτερεύον, διαφορετικό από το μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε μια πιο επιτυχημένη επιλογή γράφοντας ένα δευτερόλεπτο ήσσονος σημασίας, τα στοιχεία των οποίων βρίσκονται στη διασταύρωση των χορδών αριθ. 1, αριθ. 2 και οι στήλες αριθ. 1 και αριθ. 5: $ \ Αριστερά | {Array} {cc}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ τέλος {Array} \ Δεξιά | $. Βρείτε την έννοια αυτού του ανθρακωρύχου της δεύτερης τάξης:

$$.

\ Αριστερά | \ Begin {Array} {CC}

5 & ​​2 \\

7 & 3 \ τέλος {Array} \ Δεξιά | = 5 \ CDOT 3-2 \ CDOT 7 = 1.

$$.

Αυτός ο ανήλικος δεν είναι ίσος με το μηδέν. Συμπέρασμα: Μεταξύ των ανηλίκων της δεύτερης τάξης υπάρχουν τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν. Κατά συνέπεια $ \ rang a ≥ $ 2. Είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε στη μελέτη ανηλίκων τρίτης τάξης.

Εάν θα επιλέξουμε έναν αριθμό στήλης 2 ή στήλη Νο. 4 για να σχηματίσουν τους ανηλίκους τρίτης τάξης, τότε οι ανθρακωρύχοι αυτοί θα είναι μηδέν (για να περιέχουν μηδενική στήλη). Παραμένει να ελέγξει μόνο ένα μικρό από την τρίτη σειρά, τα στοιχεία των οποίων βρίσκονται στη διασταύρωση των στηλών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 5 και γραμμές Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3. Γράφουμε αυτό το μικρό και βρείτε την αξία του:

$$.

7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: \ Αριστερά | \ Begin {Array} {CCC}

5 & ​​3 & 2 \\

7 & -4 & 3 \\

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\

2 & -1 & 1

\ end {Array} \ Δεξιά | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: Έτσι, όλοι οι ανήλικοι της τρίτης τάξης είναι μηδέν. Οι τελευταίοι που συνθέτουμε ο μηδενικός μικρός ήταν η δεύτερη τάξη. Συμπέρασμα: Η μέγιστη σειρά των μειοριόρων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν, είναι 2. Επομένως, $ \ rang a = $ 2.

Απάντηση

: $ \ Rang a = $ 2.

Παράδειγμα αριθ. 2.

Βρείτε το βαθμό Matrix $ a = \ αριστερά (\ Begin {Array} {CCCC} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ и 9 & 7 & 8 & -7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά) $. Έχουμε ένα τετράγωνο μήτρα της τέταρτης τάξης. Σημειώστε αμέσως ότι η κατάταξη αυτής της μήτρας δεν υπερβαίνει τα 4, δηλ. $ \ Rang a≤ $ 4. Θα προχωρήσουμε στην βρήκαμε τον βαθμό της μήτρας. Μεταξύ των ανηλίκων της πρώτης τάξης (δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων του Matrix $ a $) υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, επομένως $ \ rang a≥ $ 1. Πηγαίνετε στον έλεγχο των ανηλίκων της δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 2, Νο. 3 και στήλες Νο. 1 και Νο. 2 Θα λάβουμε ένα τέτοιο δευτερόλεπτο δευτερόλεπτο: $ \ αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CC} .

4 & -2 \\ -5 & 0 \ τέλος {Array} \ Δεξιά | $. Το υπολογίζω:

$$.

\ Αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CC} 4 & -2 \\ -5 & 0 \ ed {Array} \ Δεξιά | = 0-10 = -10. :

$$. Μεταξύ των ανηλίκων της δεύτερης τάξης υπάρχουν τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, επομένως $ \ rang a≥ $ 2. Ας στραφούμε στους ανθρακωρύχους της τρίτης τάξης. Θα βρούμε, για παράδειγμα, μικρότερο, τα στοιχεία των οποίων βρίσκονται στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 4 και οι στήλες Νο. 1, Νο. 2, Νο. 4:

$$.  \ Αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CCCC} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\

9 & 7 & -7 \ END {ARRAY} \ Δεξιά | = 105-105 = 0. $$. Δεδομένου ότι το τρίτο μικρό μικρό μέρος αποδείχθηκε ίσο με το μηδέν, τότε πρέπει να εξερευνήσετε ένα άλλο μικρό από την τρίτη τάξη. Είτε όλοι θα είναι ίσοι με το μηδέν (τότε η κατάταξη θα είναι ίση με 2) ή υπάρχει τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν μεταξύ τους (τότε να εξερευνήσετε τους ανηλίκους της τέταρτης τάξης). Εξετάστε το μικρό της τρίτης τάξης, τα στοιχεία των οποίων βρίσκονται στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και οι στήλες Νο. 2, Νο. 3, №4: $$. \ Αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CCC} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ END {ARRAY} \ Δεξιά | = -28. $$. Μεταξύ των ανηλίκων της τρίτης τάξης, υπάρχει τουλάχιστον ένα εκτός από το μηδέν, επομένως $ \ rang a≥ $ 3. Πηγαίνετε στον έλεγχο των ανηλίκων της τέταρτης τάξης. Οποιαδήποτε μικρή από την τέταρτη σειρά βρίσκεται στη διασταύρωση τεσσάρων γραμμών και τέσσερις στήλες του $ A $ Matrix. Με άλλα λόγια, η μικρή από την τέταρτη σειρά είναι το αναγνωριστικό της μήτρας $ a $, αφού αυτή η μήτρα περιέχει μόλις 4 γραμμές και 4 στήλες. Ο καθοριστικός παράγοντας αυτής της μήτρας υπολογίστηκε στο παράδειγμα Νο. 2 του θέματος "Μειώστε τη σειρά του καθοριστικού καθορισμού. Αποσύνθεση του καθοριστικού παράγοντα σε μια συμβολοσειρά (στήλη)", έτσι παίρνουμε απλά το τελικό αποτέλεσμα:

$$. \ Αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CCCC} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \\ :-5 & 0 & -4 & 0 \\

9 & 7 & 8 & -7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 86.

$$. Έτσι, η μικρή από την τέταρτη σειρά δεν είναι ίση με το μηδέν. Οι ανηλίκοι της πέμπτης τάξης δεν μπορούμε πλέον να σχηματίσουμε. Συμπέρασμα: Η υψηλότερη σειρά των μειοριόρων, μεταξύ των οποίων υπάρχουν τουλάχιστον ένα διαφορετικό από το μηδέν, είναι 4. Αποτέλεσμα: $ \ rang a = $ 4. : $ \ Rang a = $ 4. Παράδειγμα αριθμού 3. Βρείτε το βαθμό Matrix $ a = \ αριστερά (\ Begin {Array} {CCCC} -1 & 0 & 2 & -3 \\ .

4 & -2 & 5 & 1 \\ $$. 7 & -4 & 0 & -5 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά) $. Σημειώστε αμέσως ότι αυτή η μήτρα περιέχει 3 γραμμές και 4 στήλες, επομένως $ \ rang a≤ $ 3. Σε προηγούμενα παραδείγματα, ξεκινήσαμε τη διαδικασία εύρεσης κατάταξης από την εξέταση των ανηλίκων της μικρότερης (πρώτης) παραγγελίας. Εδώ θα προσπαθήσουμε να ελέγξουμε αμέσως τους ανηλίκους της μέγιστης δυνατής τάξης. Για το $ a $ matrix, οι ανήλικοι τρίτης παραγγελίας είναι. Εξετάστε το μικρό της τρίτης τάξης, τα στοιχεία των οποίων βρίσκονται στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3 και οι στήλες Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4: $$. \ Αριστερά | \ Ξεκινήστε {Array} {CCC}

0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ END {ARRAY} \ Δεξιά | = -8-60-20 = -88. $$. Έτσι, η υψηλότερη σειρά κεφαλαίων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα, όχι ίσο με το μηδέν, είναι 3. Επομένως, ο βαθμός της μήτρας είναι 3, δηλ. $ \ Rang a = $ 3. : $ \ Rang a = $ 3. Σε γενικές γραμμές, η εύρεση της τάξης της μήτρας εξ ορισμού - στη γενική περίπτωση, το καθήκον είναι αρκετά χρονοβόρο. Για παράδειγμα, η μήτρα ενός σχετικά μικρού ποσού των $ 5 \ Times $ 4 $ έχει 60 ανηλίκους δεύτερης τάξης. Και αν ακόμη και 59 από αυτούς θα είναι μηδέν, τότε ο 60ος Μικρός μπορεί να είναι μη μηδενικός. Στη συνέχεια, θα πρέπει να εξερευνήσετε τους ανηλίκους της τρίτης τάξης, την οποία αυτή η μήτρα έχει 40 τεμάχια. Συνήθως προσπαθούν να χρησιμοποιήσουν λιγότερο ογκώδη τρόπους, όπως η μέθοδος εστίασης ανθρακωρύχων ή ισοδύναμης μεθόδου μετασχηματισμού. .

Πώς να βρείτε την τάξη του Matrix; Η γνώση του βαθμού της μήτρας θα αυξήσει την κατάταξή σας =) Στο σημερινό μάθημα, θα εξοικειωθούμε με την έννοια της κατάταξης Αλγεβρικό μήτρα , Μάθετε πώς να βρείτε την τάξη του Matrix Μέθοδος βαρετών κεφαλαίων Από τον Gauss

, καθώς και να εξετάσει ένα σημαντικό πρακτικό θέμα εφαρμογής: Μελέτη ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων για συμβατότητα Ποια είναι η τάξη της μήτρας;

Το χιουμοριστικό επιγραφικό του άρθρου περιέχει ένα μεγάλο ποσοστό αλήθειας. Η ίδια η λέξη "κατάταξη" συνήθως συνδέεται με κάποια ιεραρχία, συνήθως, με μια σκάλα υπηρεσίας. Όσο μεγαλύτερη είναι η ανθρώπινη γνώση, η εμπειρία, οι ικανότητες, η διαμονή Blat κλπ. - τόσο υψηλότερη θέση και το φάσμα των δυνατοτήτων. Εκφράζω από τη νεολαία, κάτω από την τάξη συνεπάγεται το γενικό βαθμό της "απότομης ικανότητας". Και οι μαθηματικοί αδελφοί μας ζουν σύμφωνα με τις ίδιες αρχές. Θα φέρω κάποια αυθαίρετα για μια βόλτα Μηδενικές μήτρες Σκεφτείτε αν στη μήτρα Μερικά μηδενικά

Σε ποια τάξη μπορούμε να μιλήσουμε; Ο καθένας είναι εξοικειωμένος με την άτυπη έκφραση "πλήρη μηδέν". Στην κοινωνία, οι πίνακες είναι ακριβώς οι ίδιοι:

Κατατάξτε μηδενική μήτρα Οποιοδήποτε μέγεθος είναι μηδέν Σημείωση .

-1 & 3 & -3 \\ : Η μηδενική μήτρα υποδεικνύεται από το ελληνικό γράμμα "theta"

Προκειμένου να κατανοήσουμε καλύτερα την τάξη της μήτρας εδώ και στη συνέχεια θα προσελκύσω υλικά στη διάσωση :

Αναλυτική γεωμετρία

. Εξετάστε το μηδέν Η γνώση του βαθμού της μήτρας θα αυξήσει την κατάταξή σας =) διάνυσμα ο τρισδιάστατος χώρος μας που δεν καθορίζει κάποια κατεύθυνση και είναι άχρηστη για να οικοδομήσουμε Βάση συγγενών

. Από αλγεβρική οπτική γωνία, οι συντεταγμένες αυτού του φορέα καταγράφονται στο Μήτρα "Ένα έως τρία" και λογικό (στην καθορισμένη γεωμετρική έννοια) Είναι απαραίτητο η κατάταξη αυτού του μήτρα να είναι μηδέν. Τώρα εξετάστε μερικά

Nenulevoy Φορείς στήλης Διανύσματα

Σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, και αυτό είναι ήδη κάτι!

Πώς να βρείτε την τάξη του Matrix; Η γνώση του βαθμού της μήτρας θα αυξήσει την κατάταξή σας =) διάνυσμα Κατάταξη οποιασδήποτε μηδενικής συμβολοσειράς φορέα (διάνυσμα στήλης) είναι ίση με ένα Και γενικά μιλώντας - Αν στη μήτρα αυθαίρετα μεγέθη

Υπάρχουν τουλάχιστον ένα μηδενικό στοιχείο, τότε η κατάταξή της όχι λιγότερο μονάδες .

Οι αλγεβρικές χορδές φορέα και οι φορείς στήλης είναι αφηρημένες αφηρημένες, έτσι θα επιστρέψουμε στη γεωμετρική ένωση. Nenuleva

Καθορίζει μια εντελώς καθορισμένη κατεύθυνση στο διάστημα και είναι κατάλληλο για κατασκευή. : Βασανίζω , έτσι η τάξη της μήτρας Θα εξετάσουμε μια ίση μονάδα. Θεωρητικό πιστοποιητικό

: Σε γραμμική άλγεβρα, ο φορέας είναι ένα στοιχείο διάνυσμα διάνυσμα (που ορίζεται μέσω 8 αξιωματικών), η οποία, ειδικότερα, μπορεί να είναι μια διατεταγμένη συμβολοσειρά (ή στήλη) έγκυρων αριθμών με συγκεκριμένες λειτουργίες γι 'αυτούς και πολλαπλασιασμός σε έναν έγκυρο αριθμό

. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τους φορείς μπορούν να βρεθούν στο άρθρο. Γραμμικούς μετασχηματισμούς Εξετάστε το Matrix των οποίων οι γραμμές είναι .

γραμμικά εξαρτώμενα

(εκφράζεται ο ένας στον άλλο). Από μια γεωμετρική άποψη, οι συντεταγμένες του κολλητικού φορέα καταγράφονται στη δεύτερη συμβολοσειρά. ο οποίος δεν προωθήσει την υπόθεση στο κτίριο Τρισδιάστατη βάση Να είναι περίσσεια με αυτή την έννοια. Έτσι, η τάξη αυτού του μήτρα είναι επίσης ίση με μία. Επαναγράφουμε τις συντεταγμένες των φορέων στις στήλες (

Μεταφέροντας τη μήτρα ) :: Τι έχει αλλάξει από την άποψη της κατάταξης; Τίποτα. Οι στήλες είναι ανάλογες, αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη είναι ίση με μία. Με την ευκαιρία, σημειώστε ότι και οι τρεις γραμμές είναι επίσης ανάλογες. Μπορούν να ταυτοποιηθούν με συντεταγμένες Τρία Collinear επίπεδα φορείς από τα οποία μόνο ένα Είναι χρήσιμο για την οικοδόμηση μιας "επίπεδης" βάσης. Και αυτό είναι πλήρως σύμφωνο με τη γεωμετρική μας αίσθηση κατάταξης. Το παραπάνω παράδειγμα ακολουθεί μια σημαντική δήλωση: Η τάξη της μήτρας στις σειρές είναι ίσος με τους βαθμούς των στηλών .

. Έχω ήδη αναφέρει αυτό το μικρό στο μάθημα για αποτελεσματική

Μέθοδοι υπολογισμού του καθοριστικού παράγοντα : Από τη γραμμική εξάρτηση των χορδών ακολουθεί τη γραμμική εξάρτηση των στηλών (και αντίστροφα). Αλλά για να εξοικονομήσετε χρόνο, και λόγω της συνήθειας, θα μιλήσω σχεδόν πάντα για τη γραμμική εξάρτηση των γραμμών. Συνεχίστε να εκπαιδεύετε το αγαπημένο μας κατοικίδιο ζώο. Προσθέστε στη μήτρα της συντονισμού τρίτης γραμμής ενός άλλου κολλητικού φορέα Βοήθησε στην οικοδόμηση τρισδιάστατης βάσης; Φυσικά και όχι. Και οι τρεις διάνυσμα περπατούν εκεί και εδώ σε ένα κομμάτι και η τάξη της μήτρας είναι ίση με ένα. Μπορείτε να πάρετε πόσους κολλητικούς διανύσματα, πείτε, 100, βάλτε τις συντεταγμένες τους στο "εκατό ανά" μήτρα και η τάξη ενός τέτοιου ουρανοξύστη θα παραμείνει ένα μόνο. Γνωρίστε το Matrix γραμμικά ανεξάρτητα . Ένα ζευγάρι μηλένδων φορείς

Κατάλληλο για την οικοδόμηση τρισδιάστατης βάσης. Η τάξη αυτού του μήτρα είναι δύο. Και ποια είναι η τάξη της μήτρας ; Οι σειρές φαίνεται να μην είναι ανάλογες ..., σημαίνει, στην ιδέα των τριών. Ωστόσο, η τάξη αυτής της μήτρας είναι επίσης ίση με δύο. Πήγα τις πρώτες δύο γραμμές και κατέγραψα το αποτέλεσμα παρακάτω, δηλαδή Κυριολεκτικά εκφρασμένη Τρίτη γραμμή μέσω των δύο πρώτων. Γεωμετρικά συμβολοσειρές Matrix αντιστοιχούν σε τρεις συντεταγμένες Συμμορφούμενοι φορείς .

Εργασία σε αυτό το τρίκλινο υπάρχει ένα ζευγάρι μη φυσιολογικών συντρόφων.

Οπως βλέπεις

Γραμμικός εθισμός Στο θεωρούμενο Matrix δεν είναι προφανές, και σήμερα θα μάθουμε να το αποσύρουμε "σε καθαρό νερό".

Νομίζω ότι πολλοί μαντεύουν τι είναι η τάξη του Matrix! . Φορείς Μορφή .

Βάση , και η τάξη αυτού του μήτρα είναι τρία. Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε τέταρτο, πέμπτο, δέκατο διάνυσμα τρισδιάστατου χώρου θα εκφραστεί γραμμικά μέσω βασικών φορέων. Επομένως, αν στη μήτρα Προσθέστε οποιονδήποτε αριθμό γραμμών, τότε η κατάταξή του Θα εξακολουθεί να είναι τρία

Παρόμοια επιχειρήματα μπορούν να διεξαχθούν για μεγάλες μεγέθους μήτρες (σαφείς, χωρίς γεωμετρική έννοια). Ορισμός Η κατάταξη της μήτρας είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικών ανεξάρτητων γραμμών .

. Ή: Η κατάταξη της μήτρας είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικών ανεξάρτητων στηλών .

. Ναι, ο αριθμός τους συμπίπτει πάντα.

Από τα προηγούμενα, ένα σημαντικό πρακτικό ορόσημο είναι επίσης:

Η κατάταξη της μήτρας δεν υπερβαίνει την ελάχιστη διάσταση της

. Για παράδειγμα, στη μήτρα

Τέσσερις γραμμές και πέντε στήλες. Επομένως, η ελάχιστη διάσταση είναι τέσσερα, η κατάταξη αυτής της μήτρας δεν υπερβαίνει τα 4.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Ονομασίες

: Στην παγκόσμια θεωρία και πρακτική δεν υπάρχει γενικά αποδεκτό πρότυπο για τον χαρακτηρισμό του βαθμού της μήτρας, πιο συχνά μπορείτε να συναντήσετε:

- Όπως λένε, ο Άγγλος γράφει ένα, το γερμανικό άλλο. Ως εκ τούτου, ας φτάσουμε στο διάσημο ανέκδοτο για την αμερικανική και τη ρωσική κόλαση για να ορίσετε την τάξη του Matrix από τη μητρική λέξη. Για παράδειγμα: . Και αν το "ανώνυμο" μήτρα, το Koim συναντά πολλά, τότε μπορείτε απλά να καταγράψετε .

Πώς να βρείτε την τάξη του πίνακα με τη βοήθεια των μειοριόρων; Στην Ο. Κατηγορία .

Υπολογισμός του καθοριστικού παράγοντα :

και διαμονή Αντίστροφη μήτρα Έχουμε ήδη συναντήσει τους ανηλίκους της δεύτερης τάξης, που λαμβάνονται με τον πειραματισμό των σειρών και των στηλών στην "Τρία Τρία" Matrix. Τώρα θα επεκτείνουμε την έννοια της μικρής και να το δώσουμε έναν ορισμό ... Μην αναστενάζετε τόσο σκληρά, εδώ με εικόνες =) Ανήλικος

, , .

ορθογώνιος

Οι πίνακες καλούνται

καθοριστικός .

που αποτελείται από αριθμούς που βρίσκονται στη διασταύρωση των διαφόρων , σειρές και διαφορετικές :

στήλες της μήτρας. Αριθμός

Κλήση

Σειρά minra  

Σημειώστε ότι η ίδια η μήτρα δεν είναι υποχρεωμένη να είναι τετράγωνη. Εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

Πώς να πάρετε οποιαδήποτε μικρή από τη 2η σειρά; Πρέπει να επιλέξετε δύο αυθαίρετες γραμμές, για παράδειγμα,

2η και 4η και διαμονή , δύο αυθαίρετες στήλες, για παράδειγμα, 3η και 5η και τους αριθμούς στην διασταύρησή τους Γράψτε σε δευτερόλεπτα της δεύτερης τάξης: . Πόσοι ανήλικοι της 2ης τάξης; Πολλά. Υπάρχουν ειδικοί συνδυαστικοί τύποι για τον υπολογισμό του αριθμού των μειονοτήτων, αλλά στο πλαίσιο αυτού του μαθήματος πρόκειται για πληροφορίες χαμηλού καθηκόντρου. .

Παίρνουμε κάποια μικρή από την τρίτη τάξη. Εξετάζουμε τρεις αυθαίρετες γραμμές, για παράδειγμα, 1ο, 3ο και 4ο

, τρεις αυθαίρετες στήλες, για παράδειγμα, 1ο, 2ο και 4ο και από τη διασταύρησή τους "Αφαιρέστε" Μικρή 3η παραγγελία: Όσον αφορά τους ανηλίκους της 4ης τάξης, τότε η επιλογή είναι ήδη μικρή: είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν και οι 4 γραμμές και τέσσερις αυθαίρετες στήλες, για παράδειγμα, όλες οι στήλες, με εξαίρεση το 3ο: )

Αλγόριθμος για την εξεύρεση ενός βαθμού Matrix με τη βοήθεια των μικρών Για παράδειγμα, πάρτε την ίδια μήτρα . Δεδομένου ότι η μήτρα έχει μηδενικά στοιχεία, τότε η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από μία και είναι προφανές ότι δεν υπερβαίνει το 4. Πώς να ενεργήσετε επόμενο;

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε το Brutex και τον υπολογισμό των ανηλίκων της 2ης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 2ης τάξης είναι μηδέν, η κατάταξη της μήτρας είναι ίση με μία. Αλλά είναι εξαιρετικά απίθανο, νωρίτερα ή αργότερα (πιο συχνά νωρίς), το Nenulul Mind θα συναντηθεί , και αυτό το γεγονός σημαίνει ότι η τάξη της μήτρας .

Όχι λιγότερο από δύο Στο επόμενο βήμα, ορκίσαμε σταθερά και υπολογίζουμε τους ανηλίκους της 3ης τάξης. Εάν όλοι αυτοί οι ανθρακωρύχοι είναι μηδέν, τότε . Αν ο Mindor συναντήθηκε

, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η τάξη του Matrix

Τουλάχιστον τρεις

Και πηγαίνετε στο επόμενο βήμα.

Τέσσερις γραμμές και πέντε στήλες. Επομένως, η ελάχιστη διάσταση είναι τέσσερα, η κατάταξη αυτής της μήτρας δεν υπερβαίνει τα 4.

Προτομή και υπολογίζοντας τους μειονωτούς της 4ης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 4ης τάξης είναι ίσοι με το μηδέν, τότε

Αν συναντήθηκα ήσσονος σημασίας Τ. Ετσι, :

Η κατάταξη της μήτρας είναι ίση με τη μέγιστη σειρά μηδέν Το σχέδιο του "LOB στο μέτωπο" συχνά επικρίνεται, αλλά παράξενα αρκετό, σε πολλές περιπτώσεις δίνει καλά αποτελέσματα. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί η διάρκεια της διαδικασίας και προκειμένου να μειωθεί ο αριθμός των υπολογισμών, αναπτύχθηκε: Μέθοδος πολυσύχναστης μειονωτών .

Ο αλγόριθμος γενικά, φοβάμαι ότι θα υπάρξουν λίγοι για να γίνει κατανοητό, είναι πολύ πιο εύκολο να το αποσυναρμολογήσετε σε μια συγκεκριμένη εργασία:

Παράδειγμα 1.

Βρείτε το κουρέλι της μήτρας με τη μέθοδο των πολυσύχναστων ανηλίκων

: Dana Square Matrix "Τέσσερα τέσσερα" και, φυσικά, η κατάταξή του δεν είναι μεγαλύτερη από τέσσερα. 9 & 7 & 8 & -7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά) $. Χρεώνουμε:

Δεδομένου ότι η μήτρα έχει μη μηδενικά στοιχεία, τότε η κατάταξή του

Όχι λιγότερες μονάδες

Έλεγχος ανηλίκων της 2ης τάξης ξεκινήστε με το λεγόμενο

Γωνιακός , έτσι πηγαίνετε στο μικρό , Έτσι, κατάταξη Matrix

Όχι λιγότερο από δύο . Τι θα έπρεπε να κάνει αν αυτός ο μικρός αποδείχθηκε μηδέν; Σε αυτή την περίπτωση, θεωρούμε τα δευτερεύοντα

, και αν είναι επίσης μηδέν, προχωράμε περισσότερο:

Εάν είναι απαραίτητο (όταν υπήρχαν μόνοι μηδενικοί), η αναζήτηση των μικρών πρέπει να συνεχίζεται από ένα παρόμοιο σύστημα: 1η και 3η γραμμές.

1η και 4η γραμμή. 2η και 3η γραμμές. 2η και 4η γραμμές. Η 3η και 4η γραμμή - έως ότου ο ανήλικος είναι κάρυκτος, διαφορετικός από το μηδέν. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 2ης τάξης αποδείχθηκαν μηδέν, τότε Αλλά στην περίπτωσή μας, στο δεύτερο βήμα, βρέθηκε το "καλό" μικρό, και τώρα πηγαίνουμε στην εξέταση των ανηλίκων τρίτης τάξης. Βρείτε τα πόδια με νεότερο συνάδελφο

που θα συμπεριληφθούν σε όλες τις εν λόγω υψηλότερες παραγγελίες Ερώτηση "Τρίτο θα μπορείτε;" Μπορεί να απευθυνθεί είτε σε κόκκινο είτε πράσινο σύντροφο: :

Θα ήταν η πέμπτη στήλη - θα βρεθεί ένας άλλος φίλος.

Ας ξεκινήσουμε με το κόκκινο:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Δεν βοήθησε. Τώρα καταλάβετε την απληστία:

Επίσης κακό. Νιώστε τα πόδια κάτω και πάρετε ένα σταθερά στην εταιρεία "Roll" και "Brown" αριθμούς: Πρώτον, "μπλε" με "βατόμουρο": Τουλάχιστον τρεις

. Εάν αυτός ο μικρός αποδείχθηκε μηδέν, τότε θα ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί ο καθοριστικός παράγοντας από τους αριθμούς "μπλε" και "καφέ". Άλλοι ανήλικοι της 3ης τάξης, οι οποίοι περιέχουν το νεότεροι μηδενικό μικρό - δεν

. Και αν το "μπλε-καφέ" αποφασισμένο επίσης έφαγε ένα bagel, τότε

Οι ανήλικοι της 3ης τάξης είναι στην πραγματικότητα περισσότερο και η υπό εξέταση μέθοδος σε αυτή την περίπτωση σάς επιτρέπει να μειώσετε τους υπολογισμούς, το μέγιστο, μέχρι τέσσερις προσδιοριστές. Η επιτυχία των ΗΠΑ περίμενε το 3ο βήμα και το "καλό" μη δευτερεύον

Σκληρικά παπούτσια:

Τώρα "μπλε" και "βατόμουρο" στήλες

Πρέπει να εισάγετε όλους τους ανηλίκους των υψηλότερων παραγγελιών

7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: :

. Σε αυτή την περίπτωση, αυτή είναι η μόνη μικρή από την 4η εντολή, η οποία συμπίπτει με τον καθοριστικό παράγοντα της μήτρας:

(Επειδή οι 2η και 3η γραμμές είναι ανάλογες - βλέπε

Ιδιότητες του καθοριστικού παράγοντα

Αν W. Πρακμέτης Ήμασταν στη μήτρα υπήρξε μια πέμπτη στήλη, θα ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί μια άλλη μικρή από την 4η σειρά ("μπλε", "βατόμουρο" + 5η στήλη).

Παραγωγή

: Η μέγιστη τάξη του Nonzero Minaul είναι τρία, αυτό σημαίνει ότι

Ίσως όχι όλα στο τέλος κατανοήθηκαν από αυτή τη φράση: η μικρή από την 4η εντολή είναι μηδέν, αλλά μεταξύ των ανηλίκων της 3ης τάξης βρέθηκαν μηδενικά - επομένως η μέγιστη σειρά

μηδενικός

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Ήσσονος σημασίας και ίσο με τρία.

Προκύπτει το ερώτημα και γιατί να μην υπολογίσετε αμέσως τον καθοριστικό παράγοντα; Λοιπόν, πρώτον, στις περισσότερες εργασίες, η μήτρα δεν είναι τετράγωνο, αλλά δεύτερον, ακόμη και αν έχετε μη μηδενική τιμή, η εργασία με μεγάλη πιθανότητα βγαίνει, καθώς συνήθως συνεπάγεται το πρότυπο "κάτω" λύση ". Και στο εξεταζόμενο παράδειγμα, ο μηδενικός καθοριστικός παράγοντας της 4ης τάξης και εντελώς υποδηλώνει ότι το κουρέλι της μήτρας είναι μόνο μικρότερο από τέσσερα.

Πρέπει να ομολογήσω, το αποσυναρμολογημένο έργο που ήρθα με τον εαυτό μου για να εξηγήσω καλύτερα τη μέθοδο των πολυσύχνανων ανηλίκων. Στην πραγματική πρακτική, όλα είναι ευκολότερα:

Παράδειγμα 2.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Όταν ο αλγόριθμος λειτουργεί πιο γρήγορα; Ας επιστρέψουμε στο ίδιο "τεσσάρων τεσσάρων" μήτρας

. Προφανώς, η απόφαση θα είναι η συντομότερη στην περίπτωση του "καλού"

Γωνιακοί Λειτουργοί

7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: :

Κι αν

Τ.

, σε διαφορετική περίπτωση -

Η αντανάκλαση δεν είναι καθόλου υποθετικά - υπάρχουν πολλά παραδείγματα όπου όλα περιορίζονται μόνο από τους ανθρακωρύχους.

Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, μια άλλη μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική:

Πώς να βρείτε την τάξη του Matrix χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss;

Η παράγραφος έχει σχεδιαστεί για τους αναγνώστες που είναι ήδη εξοικειωμένοι με Και λίγο ένα χέρι πάνω του. Από τεχνική άποψη, η μέθοδος δεν διακρίνεται από την καινοτομία: 1) Με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, δίνουμε τη μήτρα στον τύπο βήματος. 2) Το κουρέλι της μήτρας είναι ίσο με τον αριθμό των σειρών.

Είναι ξεκάθαρο ότι Η χρήση της μεθόδου Gauss δεν αλλάζει τον βαθμό της μήτρας , και η ουσία εδώ είναι εξαιρετικά απλή: σύμφωνα με τον αλγόριθμο, κατά τη διάρκεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών, όλες οι επιπλέον αναλογικές (γραμμικές εξαρτώμενες) γραμμές ανιχνεύονται και αφαιρούνται, ως αποτέλεσμα του "ξηρού υπολείμματος" παραμένει - ο μέγιστος αριθμός γραμμικών γραμμικών ανεξάρτητες γραμμές. Μετατρέπουμε μια παλιά γνωστή μήτρα με συντεταγμένες τριών collinear διανύσματα: (1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη γραμμή.

(2) Αφαιρέστε τις μηδενικές χορδές. Έτσι, μια γραμμή παρέμεινε επομένως,  – . Τι να πω είναι πολύ πιο γρήγορα από τον υπολογισμό των εννέα μηδενικών ανηλίκων της 2ης τάξης και μόνο στη συνέχεια καταλήγω. Σας υπενθυμίζω αυτό από μόνο του Αλγεβρικό μήτρα Είναι αδύνατο να αλλάξετε οτιδήποτε και οι μετασχηματισμοί εκτελούνται μόνο για να αποσαφηνιστεί η κατάταξη! Με την ευκαιρία, ας σταματήσουμε ξανά την ερώτηση, γιατί όχι; Πηγή προέλευσης  – Φέρει πληροφορίες που είναι θεμελιωδώς διαφορετική από τις πληροφορίες μήτρας και χορδές

. Σε ορισμένα μαθηματικά μοντέλα (χωρίς υπερβολή), η διαφορά σε έναν αριθμό μπορεί να είναι θέμα ζωής και θανάτου. ... Θυμήθηκα τους δασκάλους των μαθητών των μαθηματικών πρωτοβάθμιων και μεσαίων τάξεων, οι οποίες διαδόθηκαν αδίστακτα την εκτίμηση για 1-2 πόντους για την παραμικρή ανακρίβεια ή απόκλιση από τον αλγόριθμο. Και ήταν τρομερά προσβλητικό όταν, αντ 'αυτού, φαινόταν εγγυημένο "πέντε", "καλό" ή χειρότερο. Η κατανόηση ήρθε πολύ αργότερα - και πώς αλλιώς, για να αναθέσει τους δορυφόρους, πυρηνικές κεφαλές και σταθμούς ηλεκτροπαραγωγής; Αλλά δεν ανησυχείτε, δεν δουλεύω σε αυτές τις περιοχές =)

Ας στραφούμε σε πιο ενημερωτικά καθήκοντα όπου, μεταξύ άλλων, θα εξοικειωθούμε με σημαντικές υπολογιστικές τεχνικές.

Μέθοδος Gauss

Παράδειγμα 3.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Βρείτε την τάξη του πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς : Dana Matrix "Τέσσερα πέντε", που σημαίνει ότι η κατάταξή του είναι προφανώς όχι περισσότερο από 4. Στην πρώτη στήλη, επομένως δεν υπάρχει 1 ή -1, απαιτούνται πρόσθετα βήματα για να λάβουν τουλάχιστον μία μονάδα. Σε όλη την ώρα του ιστότοπου, έχω ζητήσει επανειλημμένα μια ερώτηση: "Είναι δυνατή η αναδιάταξη των στηλών κατά τη διάρκεια στοιχειωδών μετασχηματισμών;". Εδώ - αναδιατάξατε την πρώτη δεύτερη στήλη και όλα είναι καλά! Στα περισσότερα καθήκοντα όπου χρησιμοποιείται Μέθοδος Gauss , οι στήλες μπορούν πραγματικά να αναδιατάξουν. Αλλά καμία ανάγκη. Και το σημείο δεν είναι ακόμη σε ενδεχόμενη σύγχυση με μεταβλητές, το γεγονός είναι ότι στην κλασική πορεία της εκπαίδευσης των ανώτερων μαθηματικών, αυτή η δράση δεν θεωρείται παραδοσιακά, επομένως θα είναι πολύ στραβά σε μια τέτοια οφέλληλα (και στη συνέχεια θα είναι ανάγκασαν τα πάντα).

Το δεύτερο σημείο αφορά τους αριθμούς. Κατά τη διάρκεια της απόφασης είναι χρήσιμο να καθοδηγούνται με τους ακόλουθους εμπειρικούς κανόνες: Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μπορούν να μειωθούν με τους αριθμούς μήτρας, αν είναι δυνατόν. :

. Μετά από όλα, με μια μονάδα-δύο-τρία, είναι πολύ πιο εύκολο να εργαστεί πολύ πιο εύκολο από, για παράδειγμα, από 23, 45 και 97. και η πρώτη δράση κατευθύνεται όχι μόνο για να αποκτήσει μια μονάδα στην πρώτη στήλη, αλλά και στην εξάλειψη των αριθμών 7 και 11. Πρώτη μια ολοκληρωμένη λύση, τότε σχόλια: .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. (2) Οι τελευταίες τρεις γραμμές είναι ανάλογες. Αφαιρέθηκε η 3η και 4η γραμμή, η δεύτερη γραμμή μετακινήθηκε στην πρώτη θέση. (3) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3.  Στη μήτρα δύο γραμμών που δόθηκε στο στάδιο. Σημείωση )

Τώρα η σειρά σας είναι να βασανίσετε τις τεσσάρες τέσσερις μήτρες: .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. Παράδειγμα 4. Βρείτε το rang Matrix από Gauss  Σας υπενθυμίζω αυτό

. Ή: .

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε το Brutex και τον υπολογισμό των ανηλίκων της 2ης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 2ης τάξης είναι μηδέν, η κατάταξη της μήτρας είναι ίση με μία. Αλλά είναι εξαιρετικά απίθανο, νωρίτερα ή αργότερα (πιο συχνά νωρίς), το Nenulul Mind θα συναντηθεί : Μέθοδος Gauss Δεν αναλαμβάνει αδιαμφισβήτητη ακαμψία και η απόφασή σας είναι πιθανό να διαφέρει από την απόφασή μου. Ένα σύντομο έργο σχεδιασμού δείγματος στο τέλος του μαθήματος.

Ποια μέθοδος που πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να βρείτε τον βαθμό της μήτρας; Ερώτηση "Τρίτο θα μπορείτε;" Μπορεί να απευθυνθεί είτε σε κόκκινο είτε πράσινο σύντροφο: Στην πράξη, συχνά δεν λέγεται ότι η μέθοδος πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να βρει την κατάταξη. Σε μια τέτοια κατάσταση, η κατάσταση θα πρέπει να αναλυθεί - για ορισμένες μήτρες, είναι πιο λογικό να πραγματοποιήσει μια λύση μέσω των ανηλίκων και για άλλους είναι σημαντικά πιο κερδοφόρο να εφαρμόζουν στοιχειώδεις μετασχηματισμούς: Παράδειγμα 5. Βρείτε την κατάταξη Matrix : Ο πρώτος τρόπος με κάποιο τρόπο εξαφανίζεται αμέσως =) Ακριβώς πάνω, ενημέρωσα να μην αγγίξω τις στήλες της μήτρας, αλλά όταν υπάρχει μηδενική στήλη ή αναλογικές / συμπτωματικές στήλες, τότε αξίζει ακόμα να πραγματοποιηθεί ακρωτηριασμός:

(1) Η πέμπτη μηδενική στήλη, αφαιρέστε την από τη μήτρα. Έτσι, η τάξη της μήτρας δεν υπερβαίνει τα τέσσερα. Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1. Αυτή είναι μια άλλη μέθοδος Branded Gauss, η οποία ενεργοποιεί το ακόλουθο αποτέλεσμα σε έναν ευχάριστο περίπατο: (2) Σε όλες τις σειρές, ξεκινώντας από το δεύτερο, πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά. :

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, η τρίτη γραμμή χωρίστηκε σε 2, η τέταρτη γραμμή χωρίστηκε σε 3. Στην πέμπτη γραμμή πρόσθεσε η δεύτερη συμβολοσειρά πολλαπλασιάστηκε με -1. Πρώτη μια ολοκληρωμένη λύση, τότε σχόλια: .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. (2) Οι τελευταίες τρεις γραμμές είναι ανάλογες. Αφαιρέθηκε η 3η και 4η γραμμή, η δεύτερη γραμμή μετακινήθηκε στην πρώτη θέση. (4) Στην πέμπτη γραμμή πρόσθεσε την τρίτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. (5) Οι τελευταίες δύο γραμμές είναι ανάλογες με το πέμπτο που αφαιρείται.

Ως αποτέλεσμα, ελήφθησαν 4 γραμμές. Πρότυπη πενταόραση για αυτοδιδασκαλία: .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. Παράδειγμα 4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.   Βρείτε την κατάταξη Matrix

. Ή: .

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε το Brutex και τον υπολογισμό των ανηλίκων της 2ης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 2ης τάξης είναι μηδέν, η κατάταξη της μήτρας είναι ίση με μία. Αλλά είναι εξαιρετικά απίθανο, νωρίτερα ή αργότερα (πιο συχνά νωρίς), το Nenulul Mind θα συναντηθεί : Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η φράση "κατάταξη της μήτρας" δεν θα συναντηθεί τόσο στην πράξη και στα περισσότερα καθήκοντα που μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτό. Αλλά υπάρχει ένα καθήκον όπου η υπό εξέταση έννοια είναι ο κύριος άνθρωπος και, με τη σύναψη του άρθρου, θα εξετάσουμε αυτή την πρακτική εφαρμογή:

Πώς να διερευνήσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για μονάδες;

Συχνά, εκτός από τη λύση Πρώτη μια ολοκληρωμένη λύση, τότε σχόλια: .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. (2) Οι τελευταίες τρεις γραμμές είναι ανάλογες. Αφαιρέθηκε η 3η και 4η γραμμή, η δεύτερη γραμμή μετακινήθηκε στην πρώτη θέση. (4) Στην πέμπτη γραμμή πρόσθεσε την τρίτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων .

(1) Η δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Στην τρίτη γραμμή πρόσθεσε η πρώτη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με -3. Και για τον σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1. Παράδειγμα 4. Με την προϋπόθεση, το επεξεργάζεται σε μονάδες, δηλαδή, να αποδείξει ότι υπάρχει καθόλου οποιαδήποτε απόφαση. Ένας βασικός ρόλος σε μια τέτοια επιθεώρηση παίζει (5) Οι τελευταίες δύο γραμμές είναι ανάλογες με το πέμπτο που αφαιρείται.

Caperera Capera Theorem Διατυπώομαι στην απαιτούμενη μορφή:

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε το Brutex και τον υπολογισμό των ανηλίκων της 2ης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι της 2ης τάξης είναι μηδέν, η κατάταξη της μήτρας είναι ίση με μία. Αλλά είναι εξαιρετικά απίθανο, νωρίτερα ή αργότερα (πιο συχνά νωρίς), το Nenulul Mind θα συναντηθεί : Αν κατάταξη Στρίντες συστήματος

ίσο με το χτύπημα

Εκτεταμένη μήτρα συστήματος

, τότε το σύστημα συντονίζεται και αν αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων, τότε η λύση είναι μοναδική.

Έτσι, για να μελετήσετε το σύστημα συμβατότητας, πρέπει να ελέγξετε την ισότητα

που

Σύστημα μήτρας 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ (Να θυμάστε την ορολογία από το μάθημα Μέθοδος Gauss ), και Επεκταμένη μήτρα συστήματος (Ι.Ε. μήτρα με συντελεστές με μεταβλητές + στήλη ελεύθερων μελών). 7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: :

Όλα είναι απλά: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ Παράδειγμα 7. Εξερευνήστε το σύστημα για στολή και βρείτε τη λύση του εάν το σύστημα συντονιστεί Και όταν τα συστήματα είναι ήδη αναστρέψιμα - μόλις διπλά ... no - triple =) : Παρ 'όλα αυτά, δώστε προσοχή στην αυστηρή κορυφαία γραμμή - με κατάσταση, Πρώτα , Απαιτείται να ελέγξει το σύστημα για μονάδες. Πώς να ξεκινήσετε μια απόφαση; ΤΕΛΟΣ παντων 7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: :

Καταγράφουμε την εκτεταμένη μήτρα συστήματος και με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών που το φέρνουμε στον τύπο βήματος: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 2 \\ α) Παράδειγμα αριθ. 1 του άρθρου στο Τη μέθοδο αποκλεισμού άγνωστη Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν την τάξη των πινάκων, οπότε η ισοδύναμη μήτρα πηγής του συστήματος ελήφθη ως αποτέλεσμα των ενεργειών 7 \ Τέλος {Array} \ Δεξιά | = 0 $ (βλέπε ιδιότητα # 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των καθοριστικών στοιχείων). Ή είναι δυνατόν να υπολογιστεί με περιορισμό αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα υπολογισμού του προσδιορισμού δεύτερης και τρίτης τάξης: :

και εκτεταμένη μήτρα συστήματος

 Εκτεταμένη μήτρα συστήματος

Μέγιστη σειρά μη μικρού μέσου

Στρίντες συστήματος

ισούται με τρία. Εδώ, σε ένα μόνο αντίγραφο και συμπίπτει, είναι σαφές, με τον καθορισμό του ίδιου του μήτρα:

(δείτε το μάθημα

Добавить комментарий