Výpočet stupně matice podle definice.

Definice stupně matice. Výpočet stupně matice podle definice.

Chcete-li pracovat s konceptem Rank Matrix, budeme potřebovat informace z tématu "algebraické doplňky a nezletilé. Druhy menšin a algebraických doplňků." Nejprve se jedná o termín "menší matice", protože hodnost matice bude určeno prostřednictvím nezletilých.

Rank Matrix. Zavolejte maximální pořadí jeho nezletilého, z nichž existuje alespoň jeden, ne rovný nule.

Ekvivalentní matice - Matice, jejichž řady jsou mezi sebou.

Vysvětlíme více. Předpokládejme, že mezi nezletilými druhým řádem je alespoň jeden jiný než nula. A všichni nezletilí, jehož pořadí je nad dvěma, je nulová. Závěr: Pořadí matice je 2. nebo například mezi nezletilými desátým řádem je alespoň jeden, ne rovný nule. A všichni nezletilí, z nichž pořadí nad 10 je nula. Závěr: Kroužek matrice je 10.

Stupeň matice $ A $ je označen: $ Rang $ nebo $ R (A) $. Pořadí nulové matice $ o $ je považován za nulu, $ rang o = 0 $. Dovolte mi, abych vám připomněl, že pro tvorbu nezletilých, matrice je nutná k tweer struny a sloupce - však odstranit řádky a sloupce více než samotná matice obsahuje, je nemožné. Například, pokud má Matrix $ F $ velikost $ 5 krát $ 4 (tj. Obsahuje 5 řádků a 4 sloupců), pak maximální pořadí jeho nezletilého je roven čtyřem. Zrentu pátého řádu nebudou úspěšní, protože budou vyžadovat 5 sloupců (a máme pouze 4). To znamená, že hodnost $ f $ matice nemůže být více než čtyři, tj. $ zazvonil f≤4 $.

V obecnější podobě, výše uvedené prostředky, že pokud matrice obsahuje $ M $ řádky a $ N $ sloupce, pak jeho hodnost nemůže překročit nejmenší z $ M $ a $ n $. $ Zazvčeno <min (m, n) $.

Způsob zjištění je v zásadě následovat z velmi definice pozice. Proces zjištění hodnosti matice podle definice může být schematicky odeslán:

Tudíž,

Tento systém vysvětlím podrobněji. Začněme mluvit od samého počátku, tj. Od nezletilých prvního řádu některých matic $ A $.

  1. Pokud jsou všichni nezletilí prvního řádu (tj. Prvky matice $ A $), jsou nulové, pak $ Rang A = 0 $. Pokud mezi nezletilými prvním řádem existuje alespoň jeden, ne rovný nule, pak $ zazvonil a≥ $ 1. Přejít na kontrolu nezletilých osob.
  2. Pokud jsou všichni nezletilí druhého řádu nulové, pak $ zazvonil a = 1 $. Pokud mezi nezletilé druhého řádu existuje alespoň jeden, ne rovný nule, pak $ zazvonil a≥ $ 2. Jděte na kontrolu nezletilých osob třetích řádů.
  3. Pokud jsou všechny nezletilé třetí objednávky nulové, pak $ zazvonil a = $ 2. Pokud mezi nezletilé třetí řád existuje alespoň jedna, ne rovná nule, pak $ zazvonil a≥ $ 3. Jděte na kontrolu nezletilých čtvrtého řádu.
  4. Pokud jsou všechny čtvrté nezletilé řády nulové, pak $ Rang A = $ 3. Pokud mezi nezletilými čtvrtým řádem existuje alespoň jeden, ne rovný nule, pak $ zazvonil a≥ 4 USD. Jděte na kontrolu nezletilých pátého řádu a tak dále.

Co na nás čeká na konci tohoto postupu? Je možné, že mezi nezletilými objednávkami K-th existují alespoň jeden jiný než nula a všechny nezletilé (K + 1) objednávky budou nulové. To znamená, že K je maximální pořadí menšin, mezi nimiž existuje alespoň jeden, ne rovný nule, tj. Hodnocení bude rovno k. Může existovat jiná situace: mezi nezletilými zakázkami k-th bude alespoň jeden, který není roven nule, a menší (K + 1) již není možné vytvořit postup. V tomto případě je hadr matice rovněž rovna k. Ve zkratce, Pořadí posledního složeného z nenulových nezletilých a bude roven marži matrice .

Obraťme se na příklady, ve kterých bude ilustrován proces nalezení hodnosti matice podle definice. Opětovně budeme zdůraznit, že v příkladech tohoto tématu najdeme hodnost matric s využitím pouze definice pozice. Další metody (výpočet hodnosti matice metodou rušného nezletilého, výpočet stupně matrice metodou elementárních transformací) se uvažují v následujících tématech.

Mimochodem, není nutné zahájit postup pro nalezení hodnosti s nezletilými nejmenšími objednávkami, jak se provádí v příkladech č. 1 a č. 2. Můžete okamžitě jít do horníků vyšších objednávek (viz příklad číslo 3).

Příklad №1

Najít hodnost Matrix $ A = Levá (Začátek {Array} {CCCCC}

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t

7 & 0 & 0 & 0 & 0

2 & 0 & 0 & 0 & 0

End {array} vpravo) $.

Rozhodnutí

Tato matice má velikost $ 3 časy $ 5, tj. Obsahuje tři řádky a pět sloupců. Čísla 3 a 5, minimum je 3, tedy hodnost matice $ a $ není větší než 3, tj. $ Zazvonil <$ 3. A tato nerovnost je zřejmá, protože nezletilé čtvrté řádu, nemůžeme již formu, - pro ně budete potřebovat 4 řádky a máme pouze 3. Obracíme se přímo k procesu nalezení hodnosti daného matice.

Mezi nezletilými prvním řádem (tj. Mezi prvky matice $ A $) jsou nenulové. Například 5, -3, 2, 7. Obecně nemáme zájem o celkový počet nenulových prvků. Existuje alespoň jedna není stejná nulová položka - a to je dost. Vzhledem k tomu, že mezi nezletilými prvním řádem existují alespoň jeden jiný než nula, jsme dospěli k závěru, že $ zazvoní a ≥ $ 1 a jít zkontrolovat nezletilé osoby druhé objednávky.

Začněme vyšetřovat nezletilé druhého řádu. Například na křižovatce řádků č. 1, č. 2 a sloupců č. 1, č. 4 je prvky takové menší: $ levic | Začátek {Array} {CC}

padesátka \\

7 & 0 end {array} vpravo | $. V tomto determinantu jsou všechny prvky druhého sloupu nulové, proto je determinant sám nula, tj. $ levic | Začátek {Array} {CC}

padesátka \\

7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: $$.

vlevo | začátek {array} {cc}

5 & ​​0 7 & 0 end {Array} vpravo | = 5 CDOT 0-0 CDOT 7 = 0.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t

$$.

První menší z druhé objednávky se ukázalo být nula. Co to říká? O tom, co musí pokračovat v kontrole nezletilých druhého řádu. Buď budou všichni nulové (a pak bude hodnost rovna 1), nebo mezi nimi bude alespoň jeden menší, odlišný od nuly. Pojďme se pokusit udělat úspěšnější volbou psaním druhého řádu, jejichž prvky jsou umístěny na křižovatce řetězců č. 1, č. 2 a sloupců č. 1 a č. 5: $ levice | {array} {cc}

5 & ​​2 \ t

7 & 3 end {array} vpravo | $. Najděte význam tohoto minera druhého řádu:

$$.

vlevo | začátek {array} {cc}

5 & ​​2 \ t

7 & 3 end {array} \ t

$$.

Tento menší není rovna nule. Závěr: Mezi nezletilých druhých řádů existuje alespoň jedna jiná než nula. Tedy $ zazvonil a≥ $ 2. Je nutné přesunout do studia zemí třetích řádů.

Pokud si vybereme číslo sloupce 2 nebo sloupec č. 4 pro vytvoření nezletilých osob třetího řádu, pak budou tyto horníci nulové (pro budou obsahovat nulový sloupec). Zbývá zkontrolovat pouze jeden nezletilý ze třetí řádu, jejichž prvky jsou umístěny na křižovatce sloupců č. 1, č. 3, č. 5 a čáry č. 1, č. 2, č. 3. Tyto nezletilé píšeme a najdeme jeho hodnotu:

$$.

7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: Levá | Začátek {Array} {CCC}

5 & ​​-3 & 2 \\ \\

7 & -4 & 3 \\ \\ \ t

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t

2 & -1 & 1

end {array} vpravo | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0.

$$.

7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: Takže všichni nezletilí třetí objednávky jsou nulové. Ten jsme složili Nonzero Minor byl druhý řád. Závěr: Maximální pořadí menšin, mezi nimiž existuje alespoň jedna jiná než nula, je tedy tedy, zazvčeno $ = 2 $.

Odpovědět

: $ Rang A = $ 2.

Příklad číslo 2.

Najděte rank matice $ a = vlevo (začít {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \ t -5 & 0 & -4 & 0 \ t и 9 & 7 & 8 & -7 end {array} vpravo) $. Máme čtvercovou matici čtvrtého řádu. Okamžitě si všimněte, že hodnost této matrice nepřesahuje 4, tj. $ Zazvonil <$ 4. Budeme pokračovat najít stupeň matice. Mezi nezletilými prvním řádem (tj. Mezi prvky matice $ A $) existuje alespoň jeden, ne rovný nule, tedy $ zazvonil a ≥ $ 1. Přejít na kontrolu nezletilých osob. Například na křižovatce čar čáry č. 2, č. 3 a sloupců č. 1 a č. 2 obdržíme takový obchod s druhým řádem: $ Left | začít {array} {cc} .

4 & -2 -5 & 0 -5 & 0 end {array} vpravo | $. Vypočítám to:

$$.

levice | začít {array} {cc} 4 & -2 -5 & 0 ed {array} vpravo | = 0-10 = -10. :

$$. Mezi nezletilými objednávkami existují alespoň jeden, ne rovný nule, tedy $ zazvonil a≥ $ 2. Pojďme se obrátit na třetího řádu horníků. Najdeme například malíře, z nichž prvky jsou umístěny na křižovatce čáry č. 1, č. 3, č. 4 a sloupce č. 1, č. 2, č. 4:

$$.  levice | Začít {array} {cccc} .

-1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ \ t

9 & 7 & -7 end {Array} vpravo | = 105-105 = 0. $$. Vzhledem k tomu, že třetí objednávka se ukázala být rovna nule, pak musíte prozkoumat další nezletilý z třetího řádu. Buď všechny budou rovny nule (pak bude hodnost rovna 2), nebo existuje alespoň jedna, ne rovná nule mezi nimi (pak prozkoumat nezletilé čtvrté pořadí). Zvažte nezletilé ze třetího řádu, jejichž prvky jsou umístěny na křižovatce čáry č. 2, č. 3, č. 4 a sloupců č. 2, č. 3, №4: $$. levice | Začít {array} {ccc} -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ \\ \\ 7 & 8 & -7 end {array} vpravo | = -28. $$. Mezi nezletilými třetím řádem existuje alespoň jeden jiný než nula, tedy $ zazvonil a≥ $ 3. Jděte na kontrolu nezletilých čtvrtého řádu. Nějaký menší ze čtvrtého řádu se nachází na křižovatce čtyř řádků a čtyř sloupců Matice $ A $. Jinými slovy, menší ze čtvrtého řádu je identifikátor matice $ A $, protože tato matice obsahuje 4 řádky a 4 sloupce. Determinant této matrice byl vypočten v příkladu č. 2 tématu "snížit pořadí determinantu. Rozklad determinanta na řetězci (sloupec)", takže jednoduše provedeme hotový výsledek:

$$. levice | Začít {array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3 \\ и 4 & -2 & 5 & 1 \ t :-5 & 0 & -4 & 0 \ t

9 & 7 & 8 & -7 end {array} vpravo | = 86.

$$. Takže menší ze čtvrtého řádu není rovna nule. Nezletilé páté pořadí, které nemůžeme formulář. Závěr: Nejvyšší pořadí menšin, mezi nimiž existují alespoň jeden odlišný od nuly, je 4. Výsledek: $ zazvonění A = $ 4. : $ Zazvonil a = $ 4. Příklad číslo 3. Najděte rank matice $ a = vlevo (začít {array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3 \\ \ t .

4 & -2 & 5 & 1 \ t $$. 7 & -4 & 0 & -5 end {array} vpravo) $. Okamžitě si všimněte, že tato matice obsahuje 3 řádky a 4 sloupce, tedy $ zazvonil a ≤ $ 3. V předchozích příkladech jsme zahájili proces nálezu z hlediska nezletilých nejmenších (první) objednávky. Zde se pokusíme okamžitě zkontrolovat nezletilé maximální možné objednávky. Pro matici $ A $, třetí objednávky jsou. Zvažte nezletilého ze třetího řádu, jejichž prvky leží na křižovatce čáry č. 1, č. 2, č. 3 a sloupce č. 2, č. 3, č. 4: $$. levice | Začít {array} {ccc}

0 & 2 & -3 \\ \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 end {array} vpravo | = -8-60-20 = -88. $$. Takže nejvyšší pořadí prostředků, mezi nimiž je alespoň jeden, ne rovný nule, je tedy stupeň matice 3, tj. $ Rang A = $ 3. : $ Rang A = $ 3. Obecně platí, že nalezení hodnosti matice podle definice - v obecném případě je úkol docela časově náročný. Například matrice relativně malé množství $ 5 krát $ 4 $ má 60 nezletilých osobních řádů. A pokud bude i 59 z nich nulová, pak 60. minorm může být nenulový. Pak budete muset prozkoumat nezletilé třetí řád, který má tato matrice 40 kusů. Obvykle se snaží použít méně objemné způsoby, jako je metoda zaostřování horníků nebo ekvivalentní transformační metody. .

Jak najít hodnost matice? Znalost stupně matice zvýší vaši hodnost =) V dnešní lekci se seznámíme s konceptem pozice Algebraická matice , Naučte se najít hodnost matice Metoda nudných fondů Gaussem

, stejně jako zvážit důležité praktické téma použití: Studium systému lineárních rovnic pro kompatibilitu Jaká je hodnost matice?

Živý epigraf výrobku obsahuje velký podíl pravdy. Slovo "hodnost" sám je obvykle spojen s nějakou hierarchií, nejčastěji se servisním schodištěm. Čím větší je lidské znalosti, zkušenosti, schopnosti, pobyt Blat atd. - Čím vyšší je jeho postavení a rozsah možností. Jsem vyjádřen mládí, pod hodností předpokládá obecný stupeň "strmosti". A naše matematické bratři žijí podle stejných principů. Přinesu své své libovolné pro procházku Nulové matrice Přemýšlejte o tom, zda v matrici Některé nuly

O čem to můžeme mluvit? Každý je obeznámen s neformálním výrazem "Full Zero". Ve společnosti jsou matrice přesně stejné:

Pořadí nulové matice Jakákoliv velikost je nula Poznámka .

-1 & 3 & -3 \\ : Nulová matice je označena řeckým písmenem "Theta"

Abychom lépe pochopili hodnost matice, a pak budu přitahovat materiály na záchranu :

Analytická geometrie

. Zvažte nulu Znalost stupně matice zvýší vaši hodnost =) vektor náš trojrozměrný prostor, který neuvádí určitý směr a je k ničemu stavět Afine Base.

. Z algebraického hlediska jsou souřadnice tohoto vektoru zaznamenány v Matice "Jeden až tři" a logické (ve stanoveném geometrickém smyslu) Je nutné, aby hodnost této matrice je nulová. Nyní zvažte několik

Nenulevoy. Sloupcné vektory Vektory String.

V každém případě existuje alespoň jeden nenulový prvek, a to je už něco!

Jak najít hodnost matice? Znalost stupně matice zvýší vaši hodnost =) vektor Hodnost jakéhokoli nenulového vektorového řetězce (sloupec vektor) je roven jednomu A obecně řečeno - Pokud v matrici libovolné velikosti

Existuje alespoň jeden nonzero prvek, pak její hodnost ne méně Jednotky .

Algebraické vektorové struny a sloupové vektory jsou abstraktně abstraktní, takže se vrátíme k geometrickému sdružení. Nenuleva

Určuje zcela definovaný směr v prostoru a je vhodný pro konstrukci. : Basa. , takže hodnost matice Budeme zvažovat stejnou jednotku. Teoretický certifikát

: V lineární algebře je vektorovým prvkem vektorového prostoru (definovaný přes 8 axiomy), který může být zejména objednaný řetězec (nebo sloupec) platných čísel s určitým operacím pro ně a násobení na platném čísle

. Více informací o vektorech naleznete v článku. Lineární transformace Zvažte matici jejichž řádky jsou .

lineárně závislý

(vyjádřeno v sobě). Z geometrického hlediska jsou souřadnice kolínového vektoru zaznamenány ve druhém řetězci. kdo neprokázal případ v budově Trojrozměrná základna Být nadbytkem v tomto smyslu. Hodnost této matrice je tedy rovněž rovna. Přepíšeme souřadnice vektorů ve sloupcích (

Transakce matice ): Co se změnilo z hlediska pozice? Nic. Sloupce jsou proporcionální, znamená to, že hodnost je rovna. Mimochodem, všimněte si, že všechny tři řádky jsou také proporcionální. Mohou být identifikovány s souřadnicemi Tři kolínární letadlo vektory, z nichž jen jeden Je užitečné pro stavbu "plochého" základny. A to je plně v souladu s naším geometrickým smyslem pro hodnost. Výše uvedený příklad následuje důležité prohlášení: Hodnost matice na řádcích se rovná stupni sloupců .

. Už jsem to zmínil o lekci o účinném

Metody výpočtu determinantu : Z lineární závislosti řetězců následuje lineární závislost sloupců (a naopak). Ale aby šetřil čas, a kvůli zvyku budu téměř vždy hovořit o lineární závislosti linek. Pokračujte ve školení našeho oblíbeného mazlíčka. Přidejte do matice třetího řádku souřadnice jiného kolinearového vektoru Pomohl v budování trojrozměrného základu? Samozřejmě že ne. Všechny tři vektorové procházky tam a tady na jedné trati a hodnost matice se rovná jedné. Můžete si vzít Kolik kolinových vektorů, říkají, 100, dát své souřadnice v "sto na jednu" matrici a hodnost takového mrakodrapu zůstane jedním. Seznamte se s matricí lineárně nezávislý . Dvojice neollyline vektorů

Vhodné pro budování trojrozměrného základu. Hodnost této matrice je dvě. A co je hodnost matice ? Zdá se, že řady nejsou proporcionální ... to znamená, v myšlence tří. Hodnost této matrice je však také rovna dvěma. Složil jsem první dva řádky a zaznamenal výsledek níže, to je Lineárně exprimován Třetí linie první dva. Geometricky maticové řetězce odpovídají třem souřadnicím Splodní vektory .

Práce v této trojici je pár nonollyline soudruhů.

Jak můžete vidět

Lineární závislost V uvážené matici není zřejmé, a dnes se budeme jen naučit stáhnout "na čistou vodu."

Myslím, že mnozí hádají, co je hodnost matice! . Vektory Formulář .

Afine base. a hodnost této matice je tři. Jak víte, každé čtvrté, pátý, desátý vektor trojrozměrného prostoru bude lineárně vyjádřeno základními vektory. Proto, pokud v matrici Přidejte libovolný počet řádků, pak jeho hodnost Bude to stále tři

Podobné argumenty mohou být prováděny pro velké velikosti matric (jasné, bez geometrického významu). Definice Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých linií .

. Nebo: Hodnost matice je maximální počet lineárních nezávislých sloupců .

. Ano, jejich počet se vždy shoduje.

Výše uvedeného, ​​důležitý praktický mezník je také:

Hodnost matice nepřekračuje minimální rozměr

. Například v matrici

Čtyři řádky a pět sloupců. Minimální rozměr je proto čtyři, hodnost této matrice nepřesahuje 4.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t Označení

: Ve světové teorii a praxi neexistuje obecně přijímaný standard pro označení stupně matice, nejčastěji se můžete setkat:

- Jak se říká, Angličan píše jeden, německy. Proto se podívejme na slavnou anekdotu o americkém a ruském pekle, abychom určili hodnost matice nativního slova. Například: . A pokud "nepojmenovaná" Matrix, Koim se setká hodně, pak můžete jen nahrát .

Jak najít hodnost matice s pomocí menšin? Na O. Class. .

Výpočet determinantu :

a zůstat Reverzní matice Už jsme se setkali s nezletilými druhou objednávkou, získané experimentováním řádků a sloupců v "třech třech" matrici. Nyní budeme rozšiřovat koncept nezletilého a dát mu definici ... Nepřidávejte tak tvrdě, zde s obrázky =) Méně důležitý

, , .

obdélníkový

Matice se nazývají

determinant .

složený z čísel, které jsou na křižovatce různých , Řádky a jiné :

sloupce matrice. Číslo

Volání

Objednejte Minra  

Všimněte si, že samotná matice není povinna být čtvercová. Zvažte konkrétní příklad:

Jak získat nějaké nezletilé ze dne 2. řádu? Musíte vybrat dva libovolné řádky, například

2. a 4. a zůstat , například dva libovolné sloupce, 3. a 5. a 5. a čísla na jejich křižovatce Napište nezletilé z druhé objednávky: . Kolik nezletilých druhů objednávky? Mnoho. Existují speciální kombinatorické vzorce pro výpočet počtu menšin, ale v rámci této lekce se jedná o s nízkým onedy informace. .

Dostaneme nějaké nezletilé ze třetího řádu. Zvažujeme tři libovolné linie, například 1., 3. a 4.

, například tři libovolné sloupce, 1., 2. a 4. a od jejich křižovatky "Odstranit" Minor 3. pořadí: Pokud jde o nezletilé 4. řádu, pak je volba již malá: je nutné použít všechny 4 řádky a čtyři libovolné sloupce, například všechny sloupce, s výjimkou 3.: )

Algoritmus pro nalezení matice třídy s pomocí menšího Jako příklad vezměte stejnou matici . Vzhledem k tomu, že matice má nenulové prvky, pak jeho hodnost není menší než jedna a je zřejmé, že nepřesahuje 4. Jak jednat další?

Dále je nutné začít brutex a výpočet nezletilých druhů objednávky. Pokud jsou všichni nezletilí 2. řádu nulová, hodnost matrice se rovná jedné. Ale je to extrémně nepravděpodobné, dříve nebo později (nejčastěji brzy), nesetká se Nenuulová mysl a tato skutečnost znamená, že hodnost matice .

Ne méně než dva V dalším kroku jsme důsledně přísahu a výpočtu nezletilých prvků 3. řádu. Pokud jsou všichni tito horníci nulové, pak . Pokud se Mindor setkal

Došli jsme k závěru, že hodnost matice

Nejméně tři

A přejděte k dalšímu kroku.

Čtyři řádky a pět sloupců. Minimální rozměr je proto čtyři, hodnost této matrice nepřesahuje 4.

Busta a výpočet menšin 4. řádu. Pokud jsou všichni nezletilí 4. řádu rovna nule, pak

Pokud jsem potkal menší T. Tím pádem, :

Hodnost matice se rovná maximálnímu pořadí nenulových nezletilých Schéma "LOB na čele" je často kritizován, ale podivně dost, v mnoha případech to dává dobré výsledky. Je však třeba poznamenat dobu trvání procesu a za účelem snížení počtu výpočtů, vyvinutých: Metoda rušných menšin .

Algoritmus obecně, obávám se, že bude málo, aby bylo pochopeno, je mnohem snazší rozebrat na konkrétním úkolu:

Příklad 1.

Najděte hadr matice metodou rušných nezletilých

: Dana Square Matrix "čtyři čtyři" a samozřejmě, jeho hodnost není více než čtyři. 9 & 7 & 8 & -7 end {array} vpravo) $. Účtujeme:

Protože matice má nenulové prvky, pak jeho hodnost

Ne méně jednotek

Kontrola nezletilých druhů objednávky začínají tzv.

Roh Minor. , tak jít na menší , Tak, rank matice

Ne méně než dva . Co by muselo udělat, pokud by se ukázalo, že je to nulové? V tomto případě zvážíme drobné

a pokud je také nula, jdeme dál:

V případě potřeby (pokud tam byly samotné nuly), by mělo být vyhledávání menších pokračovat obdobným režimem: 1. a 3. řádky;

1. a 4. řádky; 2. a 3. řádky; 2. a 4. řádky; 3. a 4. řádky - dokud není nezletilý, odlišný od nuly. Pokud se všichni nezletilí 2. řádu ukázaly být nulové, pak Ale v našem případě, ve druhém kroku, byl nalezen "dobrý" menší, a teď jdeme k posouzení nezletilých osob třetích řádu. Najít nohy s mladší kolegy

které budou zahrnuty ve všech nejvyšších objednávkách Otázka "Třetí vás?" Lze jej adresovat buď červené nebo zelené soudruhy: :

By byl pátý sloupec - nalezen jiný přítel.

Začněme s červenou:

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t Nepomohlo. Nyní rozumět chamtivosti:

Také špatné. Cítit nohy níže a vezměte si konzistentně ve společnosti "Roll" a "Brown" čísla: Za prvé, "modrý" s "malinovou": Nejméně tři

. Pokud se tento Minor ukázal být nula, pak by bylo nutné spočítat determinant z "modré" a "hnědé" čísel. Jiné nezletilí 3. řádu, které obsahují nejmladší nenulový menší - ne

. A pokud se "modro-hnědá" stanovená také snědla bagel, pak

Zletisky třetího řádu jsou ve skutečnosti více a metoda zvažovaná v tomto případě umožňuje snížit výpočty, maximálně až čtyři determinanty. Úspěch z nás čekal na 3. krok a "Good" Nonwero Minor

Tvrdé boty:

Nyní "modrá" a "malina" sloupce

musí zadat všechny nezletilé osoby nejvyšších objednávek

7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: :

. V tomto případě je to jediný menší ze 4. řádu, který se shoduje s determinantem matrice:

(Protože 2. a 3. řádky jsou proporcionální - viz

Vlastnosti determinantu

Pokud W. Babička Byli jsme v matrici, který byl pátý sloupec, bylo by nutné vypočítat další nezletilé ze 4. řádu ("modrá", "malina" + 5. sloupec).

Výstup

: Maximální pořadí nenulových minraulů je tři, to znamená, že

Možná, že ne všechny až do konce byla chápána touto frází: nezletilý ze 4. řádu je nula, ale mezi nezletilými objednávkou byl nalezen nenulový - tedy maximální objednávka

nenulový

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t Menší a rovna třem.

Vyvstává otázka, a proč neprodleně nevypočítat determinantu? No, nejprve, ve většině úkolů, matrice není čtvercová, ale za druhé, i když máte nenulovou hodnotu, úkol s vysokou pravděpodobností vytáhne, protože obvykle znamená standardní řešení "zdola nahoru". A v uvážním příkladu nula determinant 4. řádu a úplně naznačuje, že hadr matrice je jen méně než čtyři.

Musím se přiznat, rozebraný úkol, který jsem přišel s sebou, abych lépe vysvětlil metodu rušných nezletilých. V reálné praxi je vše jednodušší:

Příklad 2.

Řešení a odpověď na konci lekce.

Když algoritmus pracuje rychleji? Vraťme se ke stejným "čtyřm čtyřm" matrici

. Je zřejmé, že rozhodnutí bude nejkratší v případě "dobrého"

Rohových menšin

7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: :

A pokud

T.

, v opačném případě -

Odraz není vůbec hypoteticky - existuje mnoho příkladů, kde je vše omezeno pouze rohovými horníky.

V některých případech je však v některých případech efektivnější:

Jak najít hodnost matice pomocí metody Gauss?

Odstavec je určen pro čtenáře, kteří jsou již obeznámeni A malý kousek ruky na něm. Z technického hlediska se metoda nerozlišuje novinkami: 1) S pomocí elementárních transformací dáváme matrici na typ kroku; 2) hadr matice se rovná počtu řádků.

Je jasné že Použití metody Gaussovy nemění stupeň matice a podstata zde je extrémně jednoduchá: podle algoritmu, během elementárních transformací, všechny extra proporcionální (lineárně závislé) linky jsou detekovány a odstraněny, v důsledku kterého "suchý zbytek" zůstává - maximální počet lineárně nezávislé linie. Transformujeme starou známou matrici s souřadnicemi tří kolinových vektorů: (1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetí linie přidal první řádek.

(2) Zero struny odstraňují. Tak, jeden řádek proto zůstal,  – . Co říct, je mnohem rychlejší než výpočet devíti nulových nezletilých nezletilých řádů a teprve pak uzavřít. Připomínám vám to samo Algebraická matice Není možné změnit nic, a transformace se provádějí pouze za účelem objasnění hodnosti! Mimochodem, pojďme přestat znovu na otázku, proč ne? Zdrojová matice  – Nese informace, které jsou zásadně odlišné od informací o matrici a struny

. V některých matematických modelech (bez nadsázky) může být rozdíl v jednom čísle otázkou života a smrti. ... Vzpomněla jsem si na učitele školy matematiky primárních a středních tříd, které nemilosrdně odříznuto odhad pro 1-2 body za sebou nepřesnost nebo odchylku od algoritmu. A bylo to strašně urážlivé, když místo toho by se zdálo zaručeno "pět", "dobré" nebo horší. Porozumění přišlo mnohem později - a jak jinak, svěřit osobu satelity, jaderné hlavice a elektrárny? Ale nemáte strach, v těchto oblastech nefunguje =)

Obraťme se na informativní úkoly, kde mimo jiné se seznámíme s významnými výpočetní technikami.

Gauss metoda

Příklad 3.

5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t Najděte hodnost matice pomocí elementárních transformací : Dana Matrix "Čtyři pět", což znamená, že jeho hodnost je zřejmě ne více než 4. V prvním sloupci neexistuje 1 nebo -1, proto jsou zapotřebí další kroky pro příjem alespoň jedné jednotky. V celém čase webu jsem opakovaně zeptal na otázku: "Je možné uspořádat sloupce během elementárních transformací?". Zde - přeskupen první druhý sloupec a všechno je v pořádku! Ve většině úkolů, kde se používá Gauss metoda , sloupce mohou opravdu přeskupit. Ale není třeba. A bod není ani v možném zmatku s proměnnými, faktem je, že v klasickém průběhu školení vyšší matematiky se tato akce tradičně nepovažuje za to, že bude na takové převazení velmi zkroucené (a pak bude nucen všechno).

Druhý bod se týká čísel. Během rozhodnutí je užitečné být řízeny následujícími empirickými pravidly: Elementární transformace mohou být v případě potřeby sníženy čísly matrice. :

. Koneckonců, s jednotkou-dva-tři, je mnohem snazší pracovat mnohem jednodušší než například od 23, 45 a 97. a první akce je zaměřena nejen pro získání jednotky v prvním sloupci, ale také k eliminaci čísel 7 a 11. Nejprve kompletní řešení, pak komentáře: .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. (2) Poslední tři řádky jsou proporcionální. Druhý řádek byl odstraněn 3. a 4. řádky, druhý řádek se přesunul na první místo. (3) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -3.  Ve dvouřádkové matice dané fázi. Poznámka )

Nyní je tvůj tah trápit čtyři-čtyři matice: .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. Příklad 4. Najděte Rang matice podle Gauss  Připomínám to

. Nebo: .

Dále je nutné začít brutex a výpočet nezletilých druhů objednávky. Pokud jsou všichni nezletilí 2. řádu nulová, hodnost matrice se rovná jedné. Ale je to extrémně nepravděpodobné, dříve nebo později (nejčastěji brzy), nesetká se Nenuulová mysl : Gauss metoda Nepřebírá jednoznačná tuhost a vaše rozhodnutí se pravděpodobně liší od mého rozhodnutí. Krátký ukázkový designový úkol na konci lekce.

Jakou metodu použít k nalezení stupně matice? Otázka "Třetí vás?" Lze jej adresovat buď červené nebo zelené soudruhy: V praxi se často neříká vůbec, která musí být použita k nalezení pozice. V takové situaci by měl být stav analyzován - pro některé matrice, je to racionálnější provádět řešení prostřednictvím nezletilých, a pro ostatní je výrazně výhodnější aplikovat elementární transformace: Příklad 5. Najít rank matice : První cesta nějak okamžitě zmizí =) Sady jsem se doporučil, abych se nedotýkala sloupců matrice, ale když je nulový sloupec, nebo proporcionální / shodné sloupy, pak stále stojí za to provádět amputaci:

(1) Pátý nulový sloupec, vyjměte jej z matrice. Hodnost matice je tedy ne více než čtyři. První řádek byl vynásoben -1. Toto je další značková metoda Gauss, která změní následující efekt v příjemné procházce: (2) Pro všechny řádky, počínaje druhým, přidal první řetězec. :

(3) První řádek byl vynásoben -1, třetí linie byla rozdělena do 2, čtvrtá linka byla rozdělena do 3. Do pátého řádku přidal druhý řetězec násobený -1. Nejprve kompletní řešení, pak komentáře: .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. (2) Poslední tři řádky jsou proporcionální. Druhý řádek byl odstraněn 3. a 4. řádky, druhý řádek se přesunul na první místo. (4) na pátý řádek přidal třetí řádek vynásobený -2. (5) Poslední dva řádky jsou úměrné páté odstraněné.

V důsledku toho byly získány 4 řádky. Standardní pět-příběh pro samostudium: .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. Příklad 4. Příklad 6.   Najít rank matice

. Nebo: .

Dále je nutné začít brutex a výpočet nezletilých druhů objednávky. Pokud jsou všichni nezletilí 2. řádu nulová, hodnost matrice se rovná jedné. Ale je to extrémně nepravděpodobné, dříve nebo později (nejčastěji brzy), nesetká se Nenuulová mysl : Stručné řešení a odpověď na konci lekce.

Je třeba poznamenat, že fráze "hodnost matice" nebude tak často setkat v praxi, a ve většině úkolů můžete bez něj udělat. Existuje však jeden úkol, kde je v úvahu koncept hlavní osobou, a v závěru článku zvážíme tuto praktickou aplikaci:

Jak prozkoumat systém lineárních rovnic pro jednotky?

Kromě řešení Nejprve kompletní řešení, pak komentáře: .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. (2) Poslední tři řádky jsou proporcionální. Druhý řádek byl odstraněn 3. a 4. řádky, druhý řádek se přesunul na první místo. (4) na pátý řádek přidal třetí řádek vynásobený -2. Systémy lineárních rovnic .

(1) Druhý řádek přidal první řetězec násobený -2. Do třetího řádku přidal první řetězec násobený -3. A hromadění: 1. řádek byl přidán do 4. řádku vynásobené -1. Příklad 4. Podmínkou je předem vyšetřování do jednotek, to znamená, že prokázat, že vůbec existuje žádné rozhodnutí. Klíčovou roli v takové inspekci (5) Poslední dva řádky jsou úměrné páté odstraněné.

Caperera capera teorém Formuluji v požadované podobě:

Dále je nutné začít brutex a výpočet nezletilých druhů objednávky. Pokud jsou všichni nezletilí 2. řádu nulová, hodnost matrice se rovná jedné. Ale je to extrémně nepravděpodobné, dříve nebo později (nejčastěji brzy), nesetká se Nenuulová mysl : Jestliže hodnost Matice systému

rovný zazvčenelný

Rozšířený systém Matrix.

Potom je systém koordinován, a pokud toto číslo se shoduje s počtem neznámého, pak je řešení jedinečné.

Pro studium systému pro kompatibilitu je třeba zkontrolovat rovnost

kde

Systémová matice 5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t (Vzpomeňte si na terminologii z lekce Gauss metoda ), a Rozšířený systém Matrix. (I.e. Matice s koeficienty s proměnnými + sloupec volných členů). 7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: :

Všechno je jednoduché: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t Příklad 7. Prozkoumejte systém pro uniformu a vyhledejte jeho řešení, pokud je systém koordinován A když jsou systémy již reverzibilní - jen dvojnásobně ... Ne - trojnásobný =) : Nicméně věnujte pozornost přísné horní linii - podle stavu, Za prvé , Je nutné zkontrolovat systém pro jednotky. Jak začít rozhodnutí? Tak jako tak 7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: :

Zapisujeme rozšířenou systémovou matici a pomocí elementárních transformací přinášíme to typu kroku: 5 & ​​0 & -3 & 0 & 0 \ t a) Příklad č. 1 článku Způsob vyloučení neznámého Elementární transformace nemění hodnost matric, takže ekvivalentní zdrojová matrice systému byla získána v důsledku akcí 7 Konec {Array} vpravo | = 0 $ (viz majetek č. 3 v tématu vlastností determinantů). Nebo je možné dostatečně vypočítat tento determinant za použití vzorce č. 1 z úseku při výpočtu druhé a třetího řádu determinanty: :

a rozšířené systémové matice

 Rozšířený systém Matrix.

Maximální pořadí nenulových nezletilých

Matice systému

se rovná třem. Zde, v jedné kopii a shoduje se, je jasné, s determinantem samotného matrice:

(Viz lekce

Добавить комментарий